Tổng hợp kiến thức và kỹ năng cần nạm vững, những dạng bài tập và câu hỏi có tài năng xuất hiện nay trong đề thi HK2 Toán học tập 11 sắp tới


Phần 1

GIỚI HẠN

I. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Dãy số có số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói dãy số (left( u_n ight)) có giới hạn là số thực (L) giả dụ (mathop lim limits_n o + infty left( u_n - L ight) = 0).

Bạn đang xem: Tổng hợp kiến thức toán 11 học kì 2

Khi đó, ta viết: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = L), viết tắt là (lim left( u_n ight) = L) hoặc (lim u_n = L).

Định lý 1: Giả sử (lim u_n = L). Khi đó:

i) (lim left| u_n ight| = left| L ight|) cùng (lim sqrt<3>u_n = sqrt<3>L).

ii) nếu (u_n ge 0) với tất cả (n) thì (L ge 0) và (lim sqrt u_n = sqrt L )

Định lý 2: Giả sử (lim u_n = L,lim v_n = M) cùng (c) là một hằng số. Lúc đó:

i) các dãy số (left( u_n + v_n ight),left( u_n - v_n ight),left( u_n.v_n ight)) cùng (left( c.u_n ight)) có giới hạn là:

+) (lim left( u_n + v_n ight) = L + M)

+) (lim left( u_n - v_n ight) = L - M)

+) (lim left( u_n.v_n ight) = L.M)

+) (lim left( c.u_n ight) = c.L)

ii) trường hợp (M e 0) thì dãy số (left( fracu_nv_n ight)) có giới hạn là (lim fracu_nv_n = fracLM).

Một số hàng số tất cả giới hạn thường gặp:

+) (lim frac1n = 0,lim frac1sqrt n = 0,lim frac1sqrt<3>n = 0,...)

+) nếu như (left| q ight| Chú ý: Định lý bên trên vẫn hợp lý cho trường thích hợp (x o x_0^ + ,x o x_0^ - ,)(x o + infty ,x o - infty )

2. Định lí về số lượng giới hạn một bên

()(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ - f(x) = mathop lim limits_x o x_0^ + f(x) = L)

3. Các phép tắc tìm số lượng giới hạn vô cực của hàm số

+) nếu như (mathop lim limits_x o x_0 left| fleft( x ight) ight| = + infty )thì (mathop lim limits_x o x_0 frac1fleft( x ight) = 0)

+ Bảng quy tắc

*

*

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: (S = fracu_11 - q,|q| ­0 thì (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = f(x_0))

3. (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^n = 0) (với n > 0)

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) khẳng định trên khoảng K với (x_0 in K).

Hàm số y = f(x) được call là liên tục tại (x_0) nếu như (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight)).

2. Một số định lý cơ bản

ĐL 1:

Hàm số nhiều thức thường xuyên trên R.

- Hàm phân thức hữu tỉ và những hàm lượng giác thường xuyên trên từng khoảng chừng của tập khẳng định của chúng.

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, mến của hai hàm số tiếp tục tại (x_0) là đông đảo hàm số thường xuyên tại (x_0) (trường thích hợp thương thì mẫu cần khác 0 tại (x_0)).

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) tiếp tục trên (left< a;b ight>) cùng f(a).f(b) Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc đang học nhằm tính.

- Nếu giới hạn của hàm số đề nghị tính có 1 trong những bốn dạng (frac00); (fracinfty infty ); (infty - infty ); 0.∞ thì ta đề nghị khử dạng đó, bởi cách phân tích tử và chủng loại thành nhân tử rồi giản cầu hoặc nhân lượng phối hợp hoặc phân tách cả tử với mẫu cho xk với k là mũ tối đa của tử hoặc mẫu...Cụ thể:

* Dạng (frac00):

- ví như tử, mẫu mã là đông đảo đa thức thì ta để thừa số (left( x - x_0 ight)) làm nhân tử bình thường và rút gọn nhân tử này ta sẽ chuyển được giới hạn về dạng xác định.

- nếu tử hay mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng phối hợp của tử hoặc mẫu mã và cũng rút gọn thừa số (left( x - x_0 ight))ở tử và chủng loại ta sẽ chuyển được số lượng giới hạn về dạng xác định.

Cần chú ý các công thức đổi khác sau:

(eginarrayla pm b = fraca^2 - b^2a mp b\a pm b = fraca^3 pm b^3a^2 mp ab + b^2endarray)

+ trường hợp PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)

+ liên hợp của biểu thức:

1.(sqrt a - sqrt b ) là (sqrt a + sqrt b )

2. (sqrt a + sqrt b ) là (sqrt a - sqrt b )

3.(sqrt<3>a - b) là (sqrt<3>a^2 + sqrt<3>a.b + b^2)

4. (sqrt<3>a + b) là (sqrt<3>a^2 - sqrt<3>a.b + b^2)

Ví dụ: Tìm những giới hạn sau: 

a) (mathop mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2limits_ )

b) (mathop mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1limits_ )

Giải:

(eginarrayla),,,mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x^2 - 4 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x - 2 ight)left( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2 = frac4.84 = 8endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2 = 8.)

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1\ = mathop lim limits_x o 1 frac4 - left( 3x + 1 ight)left( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac3 - 3xleft( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x - 1 ight)left( x - 1 ight)left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = frac - 3left( 1 + 1 ight)left( 2 + sqrt 3.1 + 1 ight) = - frac38endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1 = - frac38.)

* Dạng (fracinfty infty ):

- phân tách cả tử và mẫu cho xk với k là mũ tối đa của tử hoặc mẫu.

- sau đó dùng các định lý về số lượng giới hạn của tổng, hiệu, tích cùng thương cùng giới hạn (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^k = 0) với k nguyên dương.

Ví dụ:Tìm những giới hạn sau: 

a) (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4)

b) (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3)

Giải:

(eginarrayla),,mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 - frac16x^3 + frac2x^41 - frac2x^2 + frac4x^4\ = frac3 - 0 + 01 - 0 + 0 = 3endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4 = 3).

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3\ = mathop lim limits_x o - infty fracfrac1x - frac5x^2 + frac1x^3frac10x^3 - 2\ = frac0 - 0 + 00 - 2 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3 = 0)

* Dạng (infty - infty ):

- nếu (x o x_0) thì ta quy đồng chủng loại số để mang về dạng (frac00).

Nếu (x o pm infty ) thì ta nhân và phân tách với lượng liên hợp để mang về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ: Tìm những giới hạn sau:

a) (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight))

b) (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight))

Giải:

a) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( frac1 + x + x^2 - 31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( fracx^2 + x - 21 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 2 ight)left( 1 - x ight)left( 1 + x + x^2 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - x - 21 + x + x^2 = - 1endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight) = - 1)

b) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight)\ = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4x^2 + 3x + 1 ight) - 4x^2sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3x + 1sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 + frac1xsqrt 4 + frac3x + frac1x^2 + 2\ = frac32 + 2 = frac34endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight) = frac34).

* Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần triển khai một số đổi khác như gửi thừa số vào trong vết căn, quy đồng chủng loại số,...ta hoàn toàn có thể đưa giới hạn đã mang lại về dạng thân quen thuộc.

Ví dụ: Tìm số lượng giới hạn sau: (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 ).

Giải: Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)left( x - 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)^2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = 3.0 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 = 0).

2. Dạng 2Tính tổng của CSN lùi vô hạn

- sử dụng công thức: (S = fracu_11 - q,|q| Ví dụ: Tính tổng (S = - 1 + frac110 - frac110^2 + ... + fracleft( - 1 ight)10^n - 1^n + ...)

Giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn cùng với (u_1 = - 1) và q = ( - frac110).

Xem thêm: Tổng Hợp 10 Bài Tập Câu Gián Tiếp Lớp 9 Có Đáp Án, Top 9 Bài Tập Câu Gián Tiếp Lớp 9 Có Đáp An 2022

Vậy (S = frac - 11 - left( - frac110 ight) = - frac1011).

3. Dạng 3: Xét tính liên tiếp của hàm số

3.1 Xét tính liên tiếp của hàm số trên điểm:

- Dạng I: mang lại h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx e x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&khieginarray*20cx = x_0&endarrayendarrayendarray ight.)

Xét tính liên tiếp của h/s tại điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: tìm kiếm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) = f(x0) ( Rightarrow ) KL liên tiếp tại x0

- Dạng II: đến h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx ge x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&{khieginarray*20cx 0?

3.2 Xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính thường xuyên của h/s trên các khoảng đơn

B2: Xét tính tiếp tục của h/s tại các điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm điều kiện của tham số để hàm số tiếp tục tại x0

Phương pháp chung:

B1: tìm kiếm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: Hàm số liên tục tại (x_0) ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight))

3.4 Sử dụng tính tiếp tục của hàm số để minh chứng phương trình tất cả nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT gồm nghiệm bên trên (left< a;b ight>):

B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) 2: khám nghiệm tính liên tiếp của hàm số f(x) trên (left< a;b ight>)

B3: kết luận về số nghiệm của PT trên (left< a;b ight>)

Ví dụ: CMR phương trình (x^7 + 3x^5 - 2 = 0) có tối thiểu một nghiệm

Xét hàm số (fleft( x ight) = x^7 + 3x^5 - 2) thường xuyên trên R đề nghị f(x) tiếp tục trên <0;1>

Và (left. eginarray*20cfleft( 0 ight) = - 2 0endarray ight Rightarrow fleft( 0 ight).fleft( 1 ight)