Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới, cơ sở để các em học phân môn Giải tích trong chương trình Toán 11dãy số. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ nắm được phương pháp giải bài tập của nội dung này.

Bạn đang xem: Toán lớp 11 dãy số


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1.Dãy số

1.2.Cách cho dãy số

1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm

1.4. Dãy số bị chặn

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 2 chương 3 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm về dãy số

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao vềdãy số

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 3 giải tích 11


Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số \(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):

\(u(1),u(2),u(3),...,u(n),...\)

\( \bullet {\rm{ }}\)Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi làsố hạng thứ nhaysố hạng tổng quátcủa dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

\( \bullet \) Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},...,{u_n},...\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).


Người ta thường cho dãy số theo các cách:

\( \bullet \) Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

\( \bullet \) Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

* Cho một vài số hạng đầu của dãy

* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.


\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} {u_{n + 1}}{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\)


\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho \({u_n} m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

\( \bullet \) Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương \(M\) sao cho \(\left| {{u_n}} \right| Ví dụ 1:

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\)

a)Viết năm số hạng đầu của dãy;

b)Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy

\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)

b)Ta có: \({u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\), do đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên hay \(n + 1\) là ước của 5. Điều đó xảy ra khi \(n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4\)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\).

Ví dụ 2:

Cho dãy số \(({u_n})\)xác định bởi:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).

a)Viết năm số hạng đầu của dãy;

b)Chứng minh rằng \({u_n} = {2^{n + 1}} - 3\);

c)Số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số có chia hết cho 7 không?

Hướng dẫn:

a)Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

\({u_1} = 1;\)\({u_2} = 2{u_1} + 3 = 5\); \({u_3} = 2{u_2} + 3 = 13;{\rm{ }}{u_4} = 2{u_3} + 3 = 29\)

\({u_5} = 2{u_4} + 3 = 61\).

b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = {2^{1 + 1}} - 3 = 1 \Rightarrow \) bài toán đúng với \(N = 1\)

* Giả sử \({u_k} = {2^{k + 1}} - 3\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 3\)

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2({2^{k + 1}} - 3) + 3 = {2^{k + 2}} - 3\) đpcm.

c)Ta xét phép chia của \(n\) cho 3

* \(n = 3k \Rightarrow {u_n} = 2({2^{3k}} - 1) - 1\)

Do \({2^{3k}} - 1 = {8^k} - 1 = 7.A \vdots 7 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

* \(n = 3k + 1 \Rightarrow {u_n} = 4({2^{3k}} - 1) + 1 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

* \(n = 3k + 2 \Rightarrow {u_n} = 8({2^{3k}} - 1) + 5 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

Vậy số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số không chia hết cho 7.

Xem thêm: Công Thức Tính Tọa Độ Trọng Tâm Tam Giác, Toạ Độ Trọng Tâm Của Tam Giác Trong Không Gian

Vấn đề 2: Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn

Phương pháp:

\( \bullet \) Để xét tính đơn điệu của dãy số \(({u_n})\) ta xét : \({k_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

* Nếu \({k_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

* Nếu \({k_n} 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\) ta có thể xét \({t_n} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

* Nếu \({t_n} > 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

* Nếu \({t_n} Ví dụ 3:

Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy giảm và bị chặn.

Hướng dẫn:

Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = \frac{{1 - {u_{n - 1}}}}{2}\)

Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Thật vậy:

Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 2 > 1\)

Giả sử \({u_k} > 1 \Rightarrow {u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} > \frac{{1 + 1}}{2} = 1\)