Hướng dẫn giải bài bác §2. Rất trị của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra và vẽ thứ thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng đúng theo công thức, lý thuyết, phương thức giải bài bác tập giải tích có trong SGK sẽ giúp các em học viên học tốt môn toán lớp 12.
Bạn đang xem: Toán 12 bài 1 trang 18
Lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho hàm số (y=f(x)) liên tiếp trên khoảng $(a;b)$ với điểm (x_0in(a;b)):
– Hàm số (f(x)) đạt cực đại tại (x_0) nếu
(f(x_0)>f(x) forall xin (x_0-h,x_0+h) setminus left x_0 ight ,h>0)
– Hàm số (f(x)) đạt rất tiểu trên x0 nếu
(f(x_0)0).
2. Điều kiện đề nghị và điều kiện đủ để hàm số bao gồm cực trị
a) Điều kiện yêu cầu để hàm số có cực trị
(f(x)) đạt cực trị tại (x_0), tất cả đạo hàm tại (x_0) thì (f"(x_0)=0).
b) Điều khiếu nại đủ nhằm hàm số có cực trị
♦ Định lí 1.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng tầm K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và gồm đạo hàm trên K hoặc trên K (setminus) x0 .
– nếu (left{ matrix{f’left( x ight) > 0|forall left( x_0 – h;,,x_0 ight) hfill cr f’left( x ight) 0 là điểm cực đại của hàm số
– nếu (left{ matrixforall left( x_0;,,x_0 + h ight) hfill cr ight.) thì x0 là vấn đề cực đái của hàm số
♦ Định lí 2.
Cho hàm số y = f(x) tất cả đạo hàm trung học cơ sở trên khoảng tầm K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0).
– trường hợp f"(x0) = 0, f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f.
– ví như f"(x0) = 0, f”(x0) 0 là điểm cực to của hàm số f.
3. Nguyên tắc tìm cực trị
a) nguyên tắc $I$
– kiếm tìm tập xác định.
– Tính f"(x). Tìm những điểm tại kia f"(x) bởi 0 hoặc f"(x) ko xác định.
– Lập bảng trở nên thiên.
– từ bảng trở thành thiên suy ra các điểm rất trị.
b) nguyên tắc $II$
– tìm tập xác định.
– Tính f"(x). Giải phương trình f"(x) = 0 cùng kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, …) là các nghiệm của nó.
– Tính f”(x) cùng f”(xi)
– ví như f”(xi) > 0 thì xi là điểm cực tiểu. Nếu f”(xi) i là điểm cực đại.
Chú ý: nếu như (f”(x_i)=0) thì ta đề xuất dùng nguyên tắc I để xét rất trị tại.
Dưới đó là phần phía dẫn trả lời các thắc mắc và bài bác tập vào phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 13 sgk Giải tích 12
Dựa vào đồ vật thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra những điểm tại kia mỗi hàm số sau có mức giá trị lớn số 1 (nhỏ nhất):
Trả lời:
a) Từ trang bị thị hàm số ta thấy: tại (x = 0) hàm số có mức giá trị lớn nhất bằng (1).
Xét lốt đạo hàm:
b) Từ đồ thị hàm số ta thấy:
Tại (x = 1) hàm số có giá trị lớn số 1 bằng (displaystyle 4 over 3)
Tại (x = 3) hàm số có mức giá trị nhỏ nhất bởi (0).
Xét vệt đạo hàm:
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 14 sgk Giải tích 12
Giả sử f(x) đạt cực đại tại (x_0). Hãy chứng tỏ khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số (f(x_0 + Delta x) – ,f(x_0) over Delta x) lúc $Δx → 0$ trong nhị trường hợp $Δx > 0$ với $Δx 0$ ta có:
(mathop lim limits_Delta x o 0^ + dfracfleft( x_0 + Delta x ight) – fleft( x_0 ight)Delta x = 0 = f’left( x_0^ + ight))
– cùng với $Δx
3. Trả lời thắc mắc 3 trang 14 sgk Giải tích 12
a) thực hiện đồ thị, hãy xem xét những hàm số dưới đây có cực trị hay không.
$y = -2x + 1;$
(y = x(x – 3)^2 over 3,,,(H.8))
b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị cùng dấu của đạo hàm.
Trả lời:
a) Hàm số $y = -2x + 1$ không tồn tại cực trị.
Hàm số (y = x(x – 3)^2 over 3) đạt cực lớn tại $x = 1$ với đạt rất tiểu trên $x = 3$.
b) ví như hàm số bao gồm cực trị thì vệt của đạo hàm phía bên trái và bên bắt buộc điểm cực trị đã khác nhau.
4. Trả lời thắc mắc 4 trang 16 sgk Giải tích 12
Chứng minh hàm số $y = |x|$ không có đạo hàm trên $x = 0$. Hàm số gồm đạt cực trị tại điểm đó không?
Trả lời:
Ta có:
(y = ,|x|, = left{ matrix{x;,,x ge 0 hfill cr– x;,,x 1;,,x ge 0 hfill cr– 1;,,x
5. Trả lời thắc mắc 5 trang 16 sgk Giải tích 12
Áp dụng quy tắc $I$, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số (f(x) = x(x^2 – 3)).
Trả lời:
TXĐ: $D = R$
$f’(x) = 3x^2 – 3$. Mang đến $f’(x) = 0 ⇔ x = 1$ hoặc $x = -1$.
Ta tất cả bảng phát triển thành thiên:
Vậy:
– Hàm số đạt cực to tại $x = -1$ cùng giá trị cực đại là $2$
– Hàm số đạt rất tiểu tại $x = 1$ và giá trị cực tè là $-2$.
Dưới đó là Hướng dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
nasaconstellation.com reviews với các bạn đầy đủ cách thức giải bài tập giải tích 12 kèm bài bác giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 của bài §2. Rất trị của hàm số trong Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát điều tra và vẽ thứ thị hàm số cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài xích tập chúng ta xem dưới đây:
1. Giải bài bác 1 trang 18 sgk Giải tích 12
Áp dụng nguyên tắc $I$, hãy tìm các điểm rất trị của hàm số sau:
a) (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10).
b) (y = x^4+ 2x^2 – 3).
c) (y = x + frac1x).
d) (y = x^3(1 – x)^2).
e) (y = sqrt x^2-x+1).
Bài giải:
a) Xét hàm số (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10)
– Tập xác định: (D=mathbbR).
– Ta tất cả đạo hàm: (y’ = 6x^2 + 6x – 36)
(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 2\ x = – 3 endarray ight.)
Với $x=2$ ta gồm $y=-54$.
Với $x=-3$ ta gồm $y=71$.
– Bảng thay đổi thiên:
Hàm số đạt cực to tại $x=-3$, giá bán trị cực đại $y_cđ = y(-3) = 71.$
Hàm số đạt rất tiểu tại $x = 2$, quý hiếm cực tè $y_ct= y(2) =- 54.$
b) Xét hàm số (y = x^4+ 2x^2 – 3)
– Tập xác định: (D=mathbbR).
– Đạo hàm: (y’ = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1))
(y’ = 0 Leftrightarrow x = 0)
Với $x=0$ ta gồm $y=-3$.
– Bảng biến chuyển thiên của hàm số:
Hàm số đạt cực tiểu trên $x=0$, quý hiếm cực đái $y_ct= y(0)=- 3.$
Hàm số không có cực đại.
c) Xét hàm số (y = x + frac1x)
– Tập xác định: (D = mathbbRackslash left 0 ight\)
– Đạo hàm:
(y’=1-frac1x^2=fracx^2-1x^2=frac(x-1)(x+1)x^2)
(y’ = 0 Leftrightarrow (x – 1)(x + 1) = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = – 1\ x = 1 endarray ight.)
Với $x = 1$ ta bao gồm $y = 2.$
Với $x = -1$ ta tất cả $y = -2.$
– Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực to tại $x=-1$, giá chỉ trị cực đại $y_cđ = y(-1) = -2.$
Hàm số đạt cực tiểu trên $x = 1$, quý hiếm cực đái $y_ct = y(1) = 2.$
d) Xét hàm số (y = x^3(1 – x)^2)
– Tập xác định: (D=mathbbR).
– Đạo hàm: (y’ = 3x^2(1 – x)^2 – 2x^3(1 – x) = x^2(1 – x)(3 – 5x))
(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 1\ x = frac35\ x = 0 endarray ight.)
Với (x=1) ta gồm (y=0.)
Với (x=frac35) ta bao gồm (y=frac1083125.)
Với x=0 ta bao gồm (y=0.)
– Bảng trở thành thiên:
Hàm số đạt cực to tại (x=frac35,) giá trị cực đại (y_cđ =yleft ( frac35 ight )frac1083125.)
Hàm số đạt rất tiểu trên (x=1,) quý giá cực tè (y_ct=y(1)=0.)
e) Xét hàm số (y = sqrt x^2-x+1)
– Tập xác định: (D=mathbbR).
– Đạo hàm: (y’ = frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 )
(y’ = 0 Leftrightarrow 2x – 1 = 0 Leftrightarrow x = frac12)
Với (x=frac12) ta có (y=fracsqrt 32).
– Bảng phát triển thành thiên:
Vậy hàm số đạt rất tiểu tại (x=frac12), giá trị cực tiểu (y_ct=yleft ( frac12 ight )=fracsqrt 32.)
2. Giải bài xích 2 trang 18 sgk Giải tích 12
Áp dụng phép tắc II, hãy tìm những điểm cực trị của hàm số sau:
a) (y = x^4 – 2x^2 + 1).
b) (y=sin 2x – x).
c) (y = sinx + cosx).
d) (y = x^5 – x^3 – 2x + 1).
Bài giải:
a) Hàm số (y = x^4 – 2x^2 + 1).
– TXĐ: $D = R$.
– Đạo hàm:
(y" m = 4x^3- m 4x m = m 4x(x^2 – m 1)) ;
(y’ = 0) (⇔ 4x()(x^2)( – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).
( y” = 12x^2-4).
(y”(0) = -4 CĐ = ( y(0) = 1).
(y”(pm 1) = 8 > 0) đề xuất hàm số đạt rất tiểu trên (x = pm1),
(y)CT = (y(pm1)) = 0.
b) Hàm số (y=sin 2x – x)
– TXĐ: $D = R$.
– Đạo hàm:
(y’ = 2cos2x – 1) ;
(y’=0Leftrightarrow cos2x=frac12Leftrightarrow 2x=pm fracpi 3+k2pi)
(Leftrightarrow x=pm fracpi 6+kpi .)
(y” = -4sin2x) .
(y”left ( fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft ( fracpi 3 +k2pi ight )=-2sqrt3CĐ = ( sin(fracpi 3+ k2π) – fracpi 6 – kπ) = (fracsqrt32-fracpi 6- kπ) , (k ∈mathbb Z).
(y”left ( -fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft (- fracpi 3 +k2pi ight )=2sqrt3>0) buộc phải hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x =-fracpi 6+ kπ),
(y)CT = (sin(-fracpi 3+ k2π) + fracpi 6 – kπ) =(-fracsqrt32+fracpi 6 – kπ) , (k ∈mathbb Z).
c) Hàm số (y = sinx + cosx)
– TXĐ: $D = R$.
– Đạo hàm:
(y = sinx + cosx = sqrt2sinleft (x+fracpi 4 ight ));
( y’ =sqrt2cosleft (x+fracpi 4 ight )) ;
(y’=0 Leftrightarrow cosleft (x+fracpi 4 ight )=0Leftrightarrow)(x+fracpi 4 =fracpi 2+kpi Leftrightarrow x=fracpi 4+kpi .)
(y”=-sqrt2sinleft ( x+fracpi 4 ight ).)
(y”left ( fracpi 4 +kpi ight )=-sqrt2sinleft ( fracpi 4+kpi +fracpi 4 ight ))
(=-sqrt2sinleft ( fracpi 2 +kpi ight ))
(=left{ matrix– sqrt 2 ext giả dụ k chẵn hfill crsqrt 2 ext nếu k lẻ hfill cr ight.)
Do đó hàm số đạt cực đại tại những điểm (x=fracpi 4+k2pi), đạt cực tiểu tại những điểm (x=fracpi 4+(2k+1)pi (kin mathbbZ).)
d) Hàm số (y = x^5 – x^3 – 2x + 1)
– TXĐ: $D = R$.
– Đạo hàm:
(y" m = m 5x^4 – m 3x^2 – m 2 m = m (x^2 – m 1)(5x^2 + m 2)); (y" m = m 0 Leftrightarrow x^2 – m 1 m = m 0 Leftrightarrow m x m = pm 1).
(y” m = m 20x^3 – m 6x).
(y”(1) = 14 > 0) nên hàm số đạt rất tiểu tại (x = 1),
(y)CT = ( y(1) = -1).
(y”(-1) = -14 CĐ = (y(-1) = 3).
3. Giải bài bác 3 trang 18 sgk Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số (y=sqrtleft ) không tồn tại đạo hàm trên (x = 0) nhưng lại vẫn đạt cực tiểu trên điểm đó.
Bài giải:
– minh chứng hàm số không có đạo hàm trên điểm (x=0):
(eginarrayly = fleft( x ight) = sqrt x ight = left{ eginarraylsqrt x ,,khi,,x ge 0\sqrt – x ,,khi,,x mathop lim limits_x o 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lim limits_x o 0^ + fracsqrt x x = mathop lim limits_x o 0^ + frac1sqrt x = + infty \mathop lim limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lim limits_x o 0^ – fracsqrt – x x = mathop lim limits_x o 0^ – fracsqrt – x – left( sqrt – x ight)^2 = mathop lim limits_x o 0^ – frac – 1sqrt – x = – infty \Rightarrow mathop lim limits_x o 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 e mathop lim limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0endarray)
(Rightarrow) không tồn tại đạo hàm của hàm số đã đến tại (x = 0).
– minh chứng hàm số đạt rất tiểu trên (x=0) :
Với (h>0) là một số thực bất kỳ ta có:
(eginarraylfleft( x ight) = sqrt left ge 0,,forall x in left( – h;h ight)\fleft( 0 ight) = 0\Rightarrow fleft( x ight) ge fleft( 0 ight),,,forall x in left( – h;h ight)endarray)
Theo định nghĩa điểm rất trị của hàm số ta kết luận (x=0) là điểm cực đái của hàm số (y = fleft( x ight) = sqrt x ight ).
4. Giải bài xích 4 trang 18 sgk Giải tích 12
Chứng minh rằng với đa số giá trị của thông số m, hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1) luôn luôn luôn tất cả một điểm cực lớn và một điểm rất tiểu.
Bài giải:
Xét hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1)
– Tập xác minh (D=mathbbR.)
– Đạo hàm:
(y’ = 3x^2 – 2mx – 2), (Delta ‘_y’ = m^2 + 6 > 0,forall m) yêu cầu phương trình $y’=0$ luôn có nhị nghiệm sáng tỏ và $y’$ đổi vết khi qua những nghiệm đó.
Vậy hàm số luôn có một cực to và một cực tiểu.
5. Giải bài bác 5 trang 18 sgk Giải tích 12
Tìm (a) và (b) để những cực trị của hàm số
(y=frac53a^2x^3+2ax^2-9x+b)
đều là phần lớn số dương và (x_0=-frac59) là vấn đề cực đại.
Bài giải:
♦ TH1: (a = 0) hàm số đổi mới (y = -9x + b).
TXĐ: $D = R$.
Trường hợp này hàm số tất cả (a=-1 0\Leftrightarrow frac53.left( – frac95 ight)^2 + 2.left( – frac95 ight) – 9 + b > 0Leftrightarrow b > frac365endarray)
Với (a > 0) ta gồm (frac1a > frac – 95a) ta có bảng đổi mới thiên :
Từ BBT ta bao gồm (x_CĐ=frac-95a).
Vì (x_0=-frac59) là điểm cực lớn nên (-frac95a=-frac59Leftrightarrow a=frac8125) ™. Theo yêu cầu bài toán thì: (y_(ct)=yleft ( frac1a ight )=yleft ( frac2581 ight )>0)
(Leftrightarrow frac53cdot left ( frac8125 ight )^2left ( frac2581 ight )^3+2.frac8125cdot left ( frac2581 ight )^2-9cdot frac2581+b>0)
(Leftrightarrow b>frac400243.)
Vậy những giá trị (a, b) đề xuất tìm là: (left{eginmatrix a=-frac95 & \ b>frac365 và endmatrix ight.) hoặc (left{eginmatrix a=frac8125 & \ b>frac400243 và endmatrix ight.).
6. Giải bài 6 trang 18 sgk Giải tích 12
Xác định quý giá của tham số (m) để hàm số (y=fracx^2+mx+1x+m) đạt cực đại tại (x = 2).
Bài giải:
Tập xác định : (D=mathbbRsetminus left -m ight ;)
Ta có:
(eginarrayly’ = fracleft( 2x + m ight)left( x + m ight) – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = frac2x^2 + 2mx + mx + m^2 – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = fracx^2 + 2mx + m^2 – 1left( x + m ight)^2endarray)
Hàm số đạt cực đại tại (x = 2Rightarrow y"(2) = 0) (⇔ m^2 + m 4m m + m 3 m = m 0)( ⇔ m=-1) hoặc (m=-3)
♦ cùng với (m = -1), ta có : (y=fracx^2-x+1x-1;)
TXĐ: (Rackslash left 1 ight\)
(y’=fracx^2-2x(x-1)^2; y’=0Leftrightarrow left{eginmatrix x^2 -2x=0& \ x eq 1 & endmatrix ight.)
(Leftrightarrow x=0) hoặc (x=2).
Ta gồm bảng trở nên thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số ko đạt cực lớn tại (x = 2).
♦ với (m = -3), ta có: (y=fracx^2-3x+1x-3;)
TXĐ: (D = Rackslash left 3 ight\)
(y’ = fracx^2 – 6x + 8left( x – 3 ight)^2;,,y’ = 0 Leftrightarrow left<eginarraylx = 2\x = 4endarray ight.)
Ta gồm bảng phát triển thành thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực lớn tại (x = 2).
Xem thêm: Phong Trào Yêu Nước Chống Pháp Của Nhân Dân Việt Nam Trong Những Năm Cuối Thế Kỉ Xix
Vậy (m = -3) là giá trị đề nghị tìm.
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12!