Ở bài học trước, họ đã được học về hàm lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản, biết được trong toán học bao gồm lượng giác nào. Thanh lịch đến bài học này, chúng ta sẽ đi vào tò mò kỹ hơn Một số phương trình lượng giác thường xuyên gặp và biện pháp giải của chúng để sau khi qua một số trong những bước thay đổi đơn giản những em vẫn rất có thể đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Hãy cùng nasaconstellation.com khám phá bài học ngay nhé!

Mục tiêu bài bác học

Qua bài bác giảng này, những em đề nghị nắm được những kiến thức sau:

Củng cố các phương trình lượng giác cơ bạn dạng và những công thức cộngNắm được định nghĩa và phương thức giải các phương trình bậc nhất,bậc hai so với một hàm con số giácBiết giải phương trình số 1 đối với 1 hàm số lượng giácBiết thay đổi một số phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác nhờ các công thức lượng giácVận dụng thành thạo các công thức lượng giác vào việc giải các phương trình lượng giácGiải thành thạo các phương trình lượng giác thưòng gặp như phương trình hàng đầu với một hàm số lượng giác, phương trình bậc hai so với một hàm con số giác và những , phương trình số 1 đối với sinx với cosxBiết vận dụng những công thức lượng giác để mang các pt các dạng trên

Lý thuyết đề nghị nắm Phương trình lượng giác

Tổng hợp triết lý cơ bạn dạng nhất, được trình bày một giải pháp chi tiết, giúp các em rứa được kỹ năng một giải pháp hiệu quả!

Phương trình số 1 đối cùng với hàm con số giác

1. Định nghĩa

Phương trình số 1 đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at+b=0

Với a,b là những hằng số a≠0 và t là một hàm số lượng giác nào đó.

Bạn đang xem: Toán 11 phương trình lượng giác cơ bản

2. Biện pháp giải

at+b=0⇔t=−ba đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ

3–√cotx−3=0⟺cotx=3–√=cotπ6

⇔x=π6+kπ,k∈Z

3. Phương trình đem lại phương trình bậc nhất đối với cùng một hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a. 5cosx−2sin2x=0;

b. 8sinxcosxcos2x=−1.

Giải

a. Ta có 5cosx−2sin2x=0⇔5cosx−4sinxcosx=0

*

Phương trình bậc hai so với một hàm con số giác

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai so với một hàm con số giác là phương trình tất cả dạng

at^2+bt+c=0

Trong đó a,b,c là những hằng số (a≠0) và t là 1 trong những trong những hàm số lượng giác.

2. Bí quyết giải

Đặt biểu thức lượng giác làm cho ẩn phụ và đặt điều kiện cho các ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đem lại việc giải những phương trình lượng giác cơ bản.

Ta có bảng sau:

*

*

3. Phương trình quy về phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác

Có các phương trình lượng giác nhưng khi giải có thể đưa về phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác.

Ví dụ: 

*

Phương trình bậc nhất đối cùng với sin x với cos x

1. Công thức đổi khác biểu thức asinx+bcosx

*

2. Phương trình dạng asinx+bcosx=c

Xét phương trình asinx+bcosx=c, với a,b,c∈R;a,b không đồng thời bằng 0(a^2+b^2≠0).Nếu a=0,b≠0 hoặc a≠0,b=0, phương trình asinx+bcosx=c có thể chuyển ngay về phương trình lượng giác cơ bản. Nếu a≠0,b≠0, ta vận dụng công thức (I).

Ví dụ: Giải phương trình

sinx+√3 cosx=1.

Giải

Theo cách làm (I) ta có

*

*

Giải bài bác tập SGK Đại số 11 Phương trình lượng giác

Bài 1: Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Lời giải:

*

Vậy phương trình bao gồm tập nghiệm 

*
 (k ∈ Z).

Bài 2: Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cos x + 1 = 0

b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0.

Lời giải:

a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, đk –1 ≤ t ≤ 1

(1) phát triển thành 2t2 – 3t + 1 = 0

*
 (thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

*

Vậy phương trình bao gồm tập nghiệm 

*
 (k ∈ Z).

*

Vậy phương trình bao gồm tập nghiệm 

*
 (k ∈ Z)

Bài 3: Giải những phương trình sau:

*

Lời giải:

*

*
 (Phương trình bậc hai với ẩn 
*
 ).

*

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

b. 8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x – 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc nhì với ẩn sin x)

*

Vậy phương trình có tập nghiệm {

*
 + k2π; 
*
 + k2π; arcsin
*
 + k2π; π – arcsin
*
 + k2π (k ∈ Z).

c. Điều kiện: 

*

2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

*

*
 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình bao gồm tập nghiệm

*
 + kπ; arctan
*
 + kπ (k ∈ Z)

d. Điều kiện 

*

tanx – 2.cotx + 1 = 0

*

*
 (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình bao gồm tập nghiệm

*
 + kπ; arctan(-2) + kπ (k ∈ Z)

Bài 4 : Giải các phương trình sau:

a. 2sin2 x + sinx.cosx – 3cos2 x = 0

b. 3sin2 x – 4 sinx.cosx + 5 cos2 x =2

c. Sin2 x + sin2x – 2 cos2 x = 1/2

d. 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

Lời giải:

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, phân tách cả nhị vế của (1) đến cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

b) 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (1) biến chuyển 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Phân chia hai vế phương trình đến cos2x ta được

Vậy phương trình gồm tập nghiệm  (k ∈ Z)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) biến 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, phân chia cả nhị vế mang lại cos2x ta được:

Vậy phương trình tất cả tập nghiệm  (k ∈ Z)

Vậy phương trình tất cả tập nghiệm  (k ∈ Z)

Bài 5: Giải các phương trình sau:

*

Lời giải:

*

Vậy phương trình có tập nghiệm 

*
 (k ∈ Z)

*

Ta có: 

*
 nên lâu dài α thỏa mãn 
*

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

*

Vậy phương trình gồm họ nghiệm 

*
 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn 

*

*

Vậy phương trình có tập nghiệm 

*
 (k ∈ Z)

*

Vì 

*
 nên vĩnh cửu α thỏa mãn 
*

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. Sin 2x = 1

*

Vậy phương trình gồm họ nghiệm 

*
 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn 

*

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a. Tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

b. Tanx + rã (x+π/4) = 1

Lời giải:

a. Điều kiện: 

*

*

Vậy phương trình gồm họ nghiệm 

*
 (k ∈ Z).

b. Điều kiện:

*

⇔ rã x.(1 – tanx) + tanx + 1 = 1 – rã x.

⇔ tung x – tan2x + 2.tan x = 0

⇔ tan2x – 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx – 3) = 0

*

*

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: arctan 3+kπ; k ∈ Z

Bài tập trường đoản cú luyện Phương trình lượng giác

Bài tập từ bỏ luyện vày iToan biên soạn để giúp đỡ các em rèn luyện cách suy nghĩ, giải nhanh và tư duy logic!

Phần câu hỏi

Câu 1: Phương trình: 1+sin2x=0 có nghiệm là:

A. x=−π/2+k2π.

B. x=−π/4+kπ.

Xem thêm: Gợi Ý Đáp Án Cuộc Thi An Toàn Giao Thông 2018-2019, Thi An Toàn Giao Thông Cho Nụ Cười Ngày Mai 2022

C. x=−π/4+k2π.

D. x=−π/2+kπ

Câu 2:

*

Câu 3:

*

Câu 4:

*

Phần đáp án

1.B 2.B 3.B 4.B

Lời kết

Để làm tốt các việc về phương trình lượng giác, các em bắt buộc hiểu cùng nhớ rõ tập xác định, tập nghiệm của các phương trình cơ bản. Những em rất có thể làm thêm nhiều bài xích tập trường đoản cú luyên từ bỏ tự luận đến nâng cấp tại nasaconstellation.com.