Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ở bài này ta chỉ xét rất trị của hàm hai trở nên z = f(x,y).

Bạn đang xem: Tìm cực trị của hàm số nhiều biến

mang đến hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm

*

1. Định nghĩa:

Ta nói

*
là vấn đề cực tè (hoặc cực đại), ví như tồn tại
*
_lân cận của
*
sao cho:

*

(

*
)

Nếu hàm số f đạt cực đại hay rất tiểu (địa phương) tại

*
thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) trên
*

Nhận xét:

– Hàm số

*
đạt cực tiểu (cực đại) trên
*
nếu:
*

– giả dụ

*
biến hóa dấu lúc
*
thay đổi thì hàm số không đạt rất trị trên
*

Ví dụ: bạn hãy xét xem hàm số

*
gồm đạt rất trị trên M(0;0) tốt không?

Xét

*
là một trong điểm trong kề bên của M(0;0). Ta có:

*

Với

*
0 , \Deltay > 0 : \Deltaf(0;0) > 0 " class="latex" />

Với

*

Vậy

*
chuyển đổi dấu buộc phải hàm f ko đạt rất trị tại M0.

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều khiếu nại cần)

Nếu hàm

*
đạt rất trị (địa phương) trên
*
và nếu f có các đạo hàm riêng tại
*
thì:

*

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại

*
(trường phù hợp hàm f đạt rất tiểu tại M0 hoàn toàn tương từ ).

Khi đó, xét hàm

*
ta có:
*
, cùng với x trong 1 khoảng như thế nào đó cất x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực lớn tại x0. Hay:

*

Mặt khác:

*
. Vậy:
*

Tương tự, giả dụ xét hàm

*
ta vẫn có:
*

Điểm

*
mà lại tại kia
*
, được điện thoại tư vấn là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều khiếu nại đủ)

Giả sử hàm số

*
có các đạo hàm riêng biệt đến cung cấp 2 thường xuyên trong kề bên của trạm dừng
*

Đặt:

*

Khi đó:

a. Giả dụ

*
0) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b. Nếu như

*

c. Giả dụ

*
0 " class="latex" /> thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Ví như

*
ta chưa kết luận và cần được xét núm thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Xem thêm: Bia Tiger Nâu Bao Nhiêu Độ Cồn Các Loại Bia, Bia Tiger Nâu Bao Nhiêu Độ

Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, phụ thuộc việc triển khai Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Lúc đó, ta đang xét dấu mang lại vi phân cấp 2 trong triển khai Taylor. Các bạn cũng có thể xem chi tiết chứng minh và cách làm Taylor trong giáo trình Toán học thời thượng (Tập 3) của người sáng tác Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem triệu chứng minh một cách dễ gọi nhất, chúng ta cũng có thể xem vào cuốn Giải tích toán học tập của người sáng tác Pixcunop (tập 2).