Tích Phân Xác Định Toán Cao Cấp

BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂNMục tiêu• cố gắng được những khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • có tác dụng được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng phần mềm Maple nhằm tính tích phân.

Bạn đang xem: Tích phân xác định toán cao cấp


bài 3: Phép tính tích phân BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN phương châm • rứa được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • có tác dụng được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng ứng dụng Maple để tính tích phân.Thời lượng câu chữ • bài này trình làng với chúng ta các quan niệm tíchBạn yêu cầu dành mỗi tuần khoảng chừng 90phút để đọc kỹ kim chỉ nan và khoảng phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy120 phút trong vòng hai tuần nhằm rộng và các phương pháp tính các loại tích phânlàm bài tập để nắm vững nội dung này.bài học này. • Phép tính tích phân là một trong nhị phép tính cơ bạn dạng của giải tích, có rất nhiều ứng dụng trong vấn đề kỹ thuật, kinh tế…Hướng dẫn học• bạn nên đọc kỹ lý thuyết để cụ được những khái niệm tích phân bất định, tích phân xác minh và các loại tích phân suy rộng.• bạn nên làm càng nhiều bài xích tập càng tốt để thành thục phuơng pháp tính những loại tích phân đó. 43 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1. Tích phân bất định3.1.1. Có mang về tích phân bất định3.1.1.1. Nguyên hàm bài xích này trình bày về phép tính tích phân, đó là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Giả dụ ta mang lại trước một hàm số f (x) thì gồm tồn tại hay là không một hàm số F(x) bao gồm đạo hàm bởi f (x) ? nếu tồn tại, hãy tìm toàn bộ các hàm số F(x) như vậy. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một trong những nguyên hàm của hàm số f (x) bên trên một khoảng chừng D nếu: F "(x) = f (x), ∀x ∈ D , giỏi dF(x) = f (x)dx . Ví dụ 1: Vì: (sin x) " = cos x, ∀x ∈ R cần sin x là nguyên hàm của hàm số cos x trên R . ⎛ 1⎞ 1 2x Vì: ⎜ arctg x + "= + , ∀x ≠ ±1 2⎟ 1− x ⎠ 1+ x (1 − x 2 ) 2 2 ⎝ 1 1 2x bên trên R ±1 . Nên: arctg x + + là 1 trong những nguyên hàm của hàm số 1− x 1 + x (1 − x 2 ) 2 2 2 Định lý tiếp sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước chưa hẳn là duy nhất, trường hợp biết một nguyên hàm thì ta tất cả thể biểu đạt được tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó. Định lý: giả dụ F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng tầm D thì: Hàm số F(x) + C cũng là một trong những nguyên hàm của hàm số f (x) , cùng với C là một trong những hằng số bất kỳ. Ngược lại, đều nguyên hàm của hàm số f (x) hầu hết viết được bên dưới dạng F(x) + C , trong các số ấy C là 1 trong hằng số. Hội chứng minh: giả sử C là một trong hằng số bất kỳ, ta có: ( F(x) + C ) " = F "(x) = f (x) với mọi x ∈ D . Theo quan niệm F(x) + C cũng là một trong nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D. Ngược lại, trả sử ϕ( x) là một trong những nguyên hàm ngẫu nhiên của hàm số f (x) trên khoảng tầm D. Ta có: < F(x) − ϕ(x)> " = F"(x) − ϕ "(x) = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ D . Suy ra F(x) − ϕ(x) nhận quý hiếm hằng số trên khoảng tầm D: F(x) − ϕ(x) = −C ⇔ ϕ(x) = F(x) + C, ∀x ∈ D . Bởi vậy biểu thức F(x) + C biểu diễn toàn bộ các nguyên hàm của hàm số f (x) , mỗi hằng số C tương xứng cho ta một nguyên hàm.44 bài 3: Phép tính tích phân3.1.1.2. Tích phân cô động Định nghĩa: Tích phân bất định của một hàm số f (x) là họ những nguyên hàm F(x) + C ; với x ∈ D ; trong số ấy F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f (x) cùng C là 1 trong những hằng số bất kỳ. Tích phân cô động của f (x)dx được cam kết hiệu là: ∫ f (x)dx . Biểu thức f (x)dx được call là biểu thức dưới vết tích phân với hàm số f được hotline là hàm số dưới dấu vết phân. Vậy: ∫ f (x)dx = F(x) + C , với F(x) là nguyên hàm của f (x) . Ví dụ như 2: ∫ cos xdx = sin x + C ∫ e dx = e + C . X x3.1.1.3. Các đặc điểm cơ bạn dạng của tích phân khẳng định ⎡ f (x)dx ⎤ " = f (x) tốt d f (x)dx = f (x)dx ⎣∫ ∫ ⎦ ∫ F "(x)dx = F(x) + C tốt ∫ dF(x) = F(x) + C ∫ af (x)dx = a ∫ f (x)dx , ( a là hằng số khác 0) ∫ dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx . Nhị tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta rất có thể viết chung: ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx trong đó α, β là những hằng số ko đồng thời bởi 0 Các đặc điểm nói bên trên được chứng minh trực tiếp từ khái niệm của tích phân bất định.3.1.1.4. Các công thức tích phân cơ bản Các cách làm tích phân tiếp sau đây được minh chứng bằng định nghĩa: dx x α+1 ∫ = ln x + C ∫ x dx = α + C, (α ≠ −1) x α +1 ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C dx dx ∫ cos = tg x + C ∫ sin = − cotg x + C 2 x 2 x ∫ e dx = e +C x x ax ∫ a dx = + C, (a > 0, a ≠ 1) x ln a dx 1 x ∫x = arctg + C a+x dx 1 +a 2 2 a a ∫a = ln +C −x 2a a − x 2 2 dx x ∫ = arcsin +C dx a a −x2 2 ∫ = ln x + x 2 + α + C x +α2 45 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1.2. Các phương thức tính tích phân bất định3.1.2.1. Phương pháp khai triển Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần thực hiện các cách thức thích hợp để mang về các tích phân đã gồm trong bảng những công thức tích phân cơ bản ở trên. Một phương thức đơn giản là phương pháp khai triển. Phương pháp này dựa trên đặc điểm tuyến tính của tích phân bất định: ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx . Ta đối chiếu hàm số dưới vết tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số đơn giản và dễ dàng mà đã biết được nguyên hàm của chúng, các hằng số được chuyển ra bên ngoài dấu tích phân. Lấy ví dụ như 3: 3 45 ∫ (2x x − 3x )dx = 2∫ x 2 dx − 3∫ x dx = x 2 − x3 + C 2 2 5 x4 ⎛ 1⎞ dx ∫⎜ 2sin x + x3 − ⎟dx = 2∫ sin xdx + ∫ x3dx − ∫ = −2cos x + − ln x + C x⎠ x 4 ⎝ ⎛1 1⎞ dx 1 ∫x = ∫⎜ 2 − dx = − + arctg x + C . 2⎟ (1 + x ) ⎝ x 1+ x ⎠ 2 2 x3.1.2.2. Phương pháp đổi khác biểu thức vi phân nhận xét: ∫ f (u)du = F(u) + C ; trong những số đó Nếu: ∫ f (x)dx = F(x) + C thì u = u(x) là một hàm số khả vi liên tục. Ta rất có thể kiểm tra lại bằng phương pháp đạo hàm nhị vế theo x. Sử dụng đặc thù này, ta biến đổi biểu thức dưới vết tích phân g(x)dx về dạng: g(x)dx = f (u(x))u "(x)dx trong đó f (x) là một trong hàm số nhưng mà ta dễ dãi tìm được nguyên hàm F(x) . Khi đó tích phân phải tính trở thành: ∫ g(x)dx = ∫ f (u(x))u "(x)dx = ∫ f (u(x))du = F(u(x)) + C ( a ≠ 0 ) trong trường hợp đơn giản và dễ dàng u (x) = ax + b thì du = adx , vì vậy nếu 1 ∫ f (x)dx = F(x) + C ta suy ra: ∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C ( a ≠ 0 ) lấy ví dụ 4: 1 ∫ sin axdx = − a cos ax + C . ( a ≠ 0 ) eax + C ( a ≠ 0) ∫ e dx = ax a ∫e cos xdx = ∫ esin x d(sin x) = esin x + C sin x46 bài bác 3: Phép tính tích phân tg 3 x dx ∫ cos4 x = ∫ (1 + tg x)d(tg x) = 3 + tg x + C 2 ) +C ( 1 1 3 ∫ x 1 + 3x dx = ∫ 1 + 3x d(1 + 3x ) = 9 1 + 3x 2 2 2 2 6 ⎛π ⎞ arccos x arcsin x I=∫ dx = ∫ ⎜ − arcsin x ⎟ arcsin xd(arcsin x) ⎝2 ⎠ 1− x2 π 1 ⇒I= arcsin 2 x − arcsin 3 x + C . 4 33.1.2.3. Cách thức đổi biến chuyển Xét tích phân I = ∫ f (x)dx ; trong các số đó f (x) là một trong những hàm số liên tục. Để tính tích phân này, ta tìm phương pháp chuyển quý phái tính tích phân khác của một hàm số khác bởi một phép thay đổi biến làm sao cho biểu thức dưới dấu tích phân so với biến t hoàn toàn có thể tìm được nguyên hàm một cách đơn giản dễ dàng hơn. Ta chia cách thức đổi biến chuyển làm nhì trường hòa hợp là đổi thay đổi xuôi x = ϕ(t) với đổi biến chuyển ngược t = ψ(x) . • Phép đổi biến chuyển thứ nhất: Đặt x = ϕ(t) ; trong số ấy ϕ( t) là 1 trong những hàm số đối chọi điệu, và bao gồm đạo hàm liên tục. Khi đó ta có: I = ∫ f (x)dx = ∫ f < ϕ(t) > ϕ "(t)dt mang sử hàm số g(t) = f < ϕ(t) > ϕ "(t) gồm nguyên hàm là hàm G(t) , với t = h(x) là hàm số ngược của hàm số x = ϕ(t) , ta có: I = ∫ g(t)dt = G(t) + C ⇒ I = G < h(x) > + C . • Phép đổi đổi mới thứ hai: Đặt t = ψ(x) , trong đó ψ (x) là một hàm số bao gồm đạo hàm liên tục, với ta viết được hàm f (x) = g < ψ (x) > ψ "(x) . Khi ấy ta có: CHÚ Ý : lúc tính tích phân bất định I = ∫ f (x)dx = ∫ g < ψ(x) > ψ "(x)dx . Bằng cách thức đổi biến số, sau khi tìm kiếm được nguyên đưa sử hàm số g (t) có nguyên hàm là hàm số hàm theo vươn lên là số mới, đề nghị G (t) , ta có: đổi lại thành hàm số của đổi mới I = G < ψ (x) > + C . Số cũ. Lấy ví dụ 5: x a) Tính tích phân: I1 = ∫ dx 2−x ⎛ π⎞ Đặt x = 2sin 2 t, t ∈ ⎜ 0, ⎟ , ta tính được: ⎝ 2⎠ dx = 4sin t cos tdt ; 47 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ 2sin 2 t x = = tg t . 2−x 2(1 − sin 2 t) x Suy ra: I1 = ∫ dx = 4 ∫ sin 2 tdt = 2t − sin 2t + C . 2−x x Đổi lại biến x, cùng với t = arcsin , ta thu được: 2 x x I1 = ∫ dx = 2 arcsin − 2x − x 2 + C . 2−x 2 e2 x b) Tính tích phân I 2 = ∫ dx . Ex + 1 Đặt e x = t ⇒ e x dx = dt , ta có: ⎛ 1⎞ t I2 = ∫ dt = ∫ ⎜1 − ⎟ dt = t − ln t + 1 + C . T +1 ⎝ t +1 ⎠ Đổi lại phát triển thành x, ta được: I 2 = e x − ln(e x + 1) + C . Dx c) Tính tích phân I3 = ∫ . 1 + 4x Đặt t = 2− x ⇒ dt = −2− x ln 2dx , tích phân trở thành: −dt 1 dt 1 I3 = ∫ ∫ t 2 + 1 = − ln 2 ln(t + t + 1) + C . =− 2 ln 2 −2 t ln 2 1 + t 1 ln(2− x + 4− x + 1) + C . Đổi lại trở thành x, ta có: I3 = − ln 23.1.2.4. Phương thức tích phân từng phần đưa sử u = u(x) và v = v(x) là những hàm số gồm đạo hàm liên tục. Theo quy tắc đem vi phân d(uv) = udv + vdu ⇒ uv = ∫ d(uv) = ∫ udv + ∫ vdu . Suy ra : ∫ udv = uv − ∫ vdu . Xét tích phân: I = ∫ f (x)dx . Ta nên biểu diễn: f (x)dx = < g(x)h(x)> dx = g(x) < h(x)dx > = udv và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u = g(x); v = ∫ h(x)dx . Ta hay sử dụng cách thức này khi biểu thức dưới dấu tích phân chứa một trong các hàm số sau đây: ln x;a x ; hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. Cầm thể: • trong các tích phân ∫ x n ekx dx; ∫ x n sin kxdx; ∫ x n cos kxdx , n nguyên dương, ta thường xuyên chọn: u = x n48 bài 3: Phép tính tích phân ∫x α• trong số tích phân ln n xdx , α ≠ −1 với n nguyên dương, ta thường chọn u = ln n x• trong tích phân ∫ x n arctg kxdx; ∫ x n arcsin kxdx , n nguyên dương, ta hay chọn: u = arctg kx hoặc u = arcsin kx ; dv = x n dx .Ví dụ 6:Tính các tích phân bất định:a) I1 = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C .b) I 2 = ∫ x 2 sin xdx . Đặt u = x 2 , dv = sin xdx ⇒ v = − cos x , ta được: I 2 = − x 2 cos x + 2∫ x cos xdx . Đặt u = x, dv = cos xdx ⇒ v = sin x , ta được: ( ) I2 = −x 2 cos x + 2 x sin x − ∫ sin xdx = −x 2 cos x + 2xsin x + 2cos x + C. Xe x dxc) I3 = ∫ . (x + 1) 2 dx 1 Đặt u = xe pháo x ;dv = ⇒v=− ;du = (x + 1)e x dx , ta được: (x + 1) x +1 2 xe pháo x xe cộ x ex + ∫ e x dx = − I3 = − + ex + C = +C. X +1 x +1 x +1 xe x dxd) I 4 = ∫ . 1 + ex e x dx Đặt 1 + e x = t ⇒ = 2dt ; ta có: 1 + ex I4 = 2∫ < ln(t − 1) + ln(t + 1)> dt = 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C . Đổi lại trở nên x ta có: ) ( xe pháo x dx ∫ = 2(x − 2) 1 + e x + 4 ln 1 + 1 + e x − 2x + C . 1+ e x x arcsin xe) I5 = ∫ dx . 1− x2 49 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ xdx dx Đặt u = arcsin x;dv = ⇒ du = ; v = − 1 − x 2 , ta được: 1− x 1− x 2 2 I5 = − 1 − x 2 arcsin x + ∫ dx = − 1 − x 2 arcsin x + x + C . F) I6 = ∫ e x cos 2xdx . Đặt u = cos 2x;dv = e x dx ⇒ v = e x ;du = −2sin 2xdx ; ta được: I6 = e x cos 2x + 2 ∫ e x sin 2xdx . Đặt u = sin 2x;dv = e x dx ⇒ v = e x ;du = 2 cos 2xdx ; ta được: ( ) I6 = ex cos2x + 2 ex sin2x − 2∫ ex cos2xdx = ex cos2x + 2ex sin2x − 4I6 + 5C . Ex ( cos 2x + 2sin 2x ) + C . Vậy: I6 = 5 trong số mục sau đây họ sẽ xét tích phân cô động của một số trong những dạng hàm cơ bản: Hàm phân thức hữu tỷ, các chất giác, hàm cất căn thức và trình bày một số cách thức giải chung so với tích phân những hàm này.3.1.3. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Định nghĩa: P(x) Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số tất cả dạng: f (x) = , Q(x) trong số ấy P(x), Q(x) là các đa thức của x. Một phân thức hữu tỷ gồm bậc của đa thức sinh sống tử số nhỏ dại hơn bậc của đa thức ở chủng loại số là một phân thức hữu tỷ thực sự. Bởi phép phân tách đa thức, phân chia P(x) mang lại Q(x) ta luôn luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng: r (x) f (x) = H(x) + Q(x) trong các số đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư vào phép chia. R (x) khi đó là một trong phân thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức H(x) được Q(x) tìm bởi công thức tích phân cơ bản: x n +1 ∫ x dx = + C ; n nguyên dương. N n +1 r (x) Ta sẽ xét việc đào bới tìm kiếm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn sót lại trong nhị trường thích hợp Q(x) sệt biệt: mẫu mã số của phân thức là đa thức hàng đầu hoặc đa thức bậc hai. Trong những trường hợp mẫu mã số phức hợp hơn, họ sử dụng phương pháp hệ số bất định để mang về nhì trường hòa hợp trên.50 bài 3: Phép tính tích phân3.1.3.1. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc nhất Xét tích phân: P(x) ∫ ax + b dx . Trong số đó P(x) là một trong những đa thức. Ta trình diễn hàm dưới dấu tích phân ở dạng sau: P(x) C = Q(x) + . Ax + b ax + b chúng ta sử dụng hai cách làm sau nhằm tính tích phân nói bên trên x n +1 dx 1 ∫ x dx = ∫ ax + b = a ln ax + b + C . + C, n ≥ 0 cùng n n +1 lấy một ví dụ 7: 2x 3 x 2 x ln 2x − 1 ⎛ ⎞ 4x 3 − 2x + 1 1 1 ∫ 2x − 1 dx = ∫ ⎜ 2x 2 + x − + dx = + −+ +C. ⎟ 2 2(2x − 1) ⎠ 3 22 4 ⎝3.1.3.2. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu mã số bậc nhì P(x) ∫x Xét tích phân: dx . + px + q 2 trong đó P(x) là một trong đa thức. Ta màn trình diễn hàm dưới vết tích phân nghỉ ngơi dạng sau: Mx + N P(x) = Q(x) + 2 . X + px + q x + px + q 2 M Mp Ta viết lại: Mx + N = (2x + p) + N − 2 2 Mx + N M d(x 2 + px + q) ⎛ Mp ⎞ dx ∫ x 2 + px + q dx = ∫ 2 ⎟∫ 2 +⎜N− suy ra: x + px + q 2 ⎠ x + px + q 2 ⎝ ⎛ Mp ⎞ M dx ⎟∫ 2 = ln x 2 + px + q + ⎜ N − . 2 ⎠ x + px + q 2 ⎝ dx Tích phân còn sót lại ở vế nên J = ∫ được tra cứu như sau : x + px + q 2 • ví như tam thức x 2 + px + q tất cả hai nghiệm phân minh x1 ≠ x 2 ; ta có: ⎛1 1⎞ x−x dx 1 1 J=∫ ∫ ⎜ x − x1 − x − x 2 ⎟ dx = x1 − x 2 ln x − x 12 + C . = (x − x1 )(x − x 2 ) x1 − x 2 ⎝ ⎠ • nếu như tam thức x 2 + px + q tất cả nghiệm kép α , ta có: dx 1 J=∫ =− +C. (x − α) x −α 2 51 bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ • giả dụ tam thức x 2 + px + q vô nghiệm, ta viết lại: 2 p⎞ ⎛ p2 ⎞ ⎛ x 2 + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q − ⎟ = X 2 + a 2 , (a 2 > 0) . ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ 2x + phường 1 suy ra: J = arctg +C. A 2a ví dụ như 8: 2x 2 − 3x + 2 5 2x + 1 − 1 ⎛ ⎞ 5x ∫ x 2 + x + 1 dx = ∫ ⎜ 2 − x 2 + x + 1 ⎟ dx = 2∫ dx − 2 ∫ x 2 + x + 1 dx Tính tích phân: ⎝ ⎠ 5 d(x 2 + x + 1) 5 dx ∫ x 2 + x + 1 + 2 ∫ (x + 1/ 2)2 + 3 / 4 = 2x − 2 2x + 1 5 5 = 2x − ln(x 2 + x + 1) + +C arctg 2 3 33.1.3.3. Phương pháp hệ số bất định P(x) mang sử bọn họ muốn đối chiếu một phân thức hữu tỷ đích thực thành tổng (hiệu) Q(x) của các phân thức hữu tỷ thực sự gồm mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Thứ nhất ta phân tích nhiều thức ở chủng loại số Q(x) thành tích của các đa thức số 1 hoặc bậc hai: Q(x) = (x − α1 )a1 ...(x − α m )a m (x 2 + p1x + quận 1 ) b1 ...(x 2 + p n x + q n ) bn . Trong đó αi , p. J , q j là những hằng số, a i , b j là những số nguyên dương, 1 ≤ i ≤ m;1 ≤ j ≤ n . • giả dụ trong phân tích của Q(x) xuất hiện đơn thức (x − α)a , a là số nguyên dương Ai P(x) thì trong đối chiếu của phân thức xuất hiện các hạng tử dạng , trong (x − α)i Q(x) kia A i là hằng số cùng 1 ≤ i ≤ a . • trường hợp trong phân tích của Q(x) lộ diện biểu thức (x 2 + px + q) b , b là số nguyên P(x) dương thì trong so với của phân thức xuất hiện thêm các hạng tử dạng Q(x) B jx + C j , trong các số ấy B j , C j là các hằng số và 1 ≤ j ≤ b . (x 2 + px + q) j P(x) sau khi viết được phân tích của , ta tìm các hằng số A i , B j , C j bằng phương pháp quy Q(x) đồng chủng loại số ở hai vế, rồi nhất quán hệ số của x n , n ∈ ở nhì vế. Ví dụ như 9: Tính những tích phân bất định x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 1 a) I1 = ∫ dx . (x 2 + 2)(x − 1)52 bài bác 3: Phép tính tích phân chia tử số mang lại mẫu số ta được đa thức x và phần dư. Vì chưng mẫu số của phân thức có những nhân tử là x 2 + 2 với x − 1 đề xuất ta viết lại phân thức làm việc dạng: x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 1 Bx + C 1 A =x+ 2 =x+ +2 . (x + 2)(x − 1) (x + 2)(x − 1) x −1 x + 2 2 Quy đồng mẫu mã số ở nhì vế 3 = (A + B)x 2 + (C − B + 2)x − C Đồng nhất hệ số của x 2 , x và hệ số tự do, ta được: ⎧A + B = 0 ⎧A = 1 ⎪ ⎪ ⎨C − B + 2 = 0 ⇒ ⎨B = −1 ⎪ −C ⎪C = −1 =1 ⎩ ⎩ x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 3 1 1 2x 1 =x+ − −2 Suy ra: . (x + 2)(x − 1) x −1 2 x + 2 x + 2 2 2 ln(x 2 + 2) 1 x2 x Vậy tích phân bằng: I = + ln x − 1 − − + C. Arctg 2 2 2 2 2x 4 + 10x 3 + 17x 2 + 16x + 5 b) I 2 = ∫ dx . (x + 1) 2 (x 2 + 2x + 3) 2x 4 + 10x 3 + 17x 2 + 16x + 5 2 1 4 = 2+ − −2 Ta viết: . (x + 1) (x + 2x + 3) x + 1 (x + 1) x + 2x + 3 2 2 2 x +1 1 Suy ra: I = 2x + 2 ln x + 1 + − 2 2 arctg +C. X +1 23.1.4. Tích phân lượng chất giác3.1.4.1. Phương thức chung ∫ R (sin x, cos x)dx , trong những số ấy hàm dưới dấu tích phân là hàm số của Xét tích phân x sin x, cos x . Ta có thể sử dụng phép đổi biến bao quát t = tg , lúc đó: 2 1− t2 2t 2t 2dt sin x = ;cos x = ; tg x = ;dx = 1+ t 1+ t 1− t 1+ t2 2 2 2 Tích phân vẫn xét được mang về tích phân của hàm số của biến t . Lấy ví dụ như 10: sin x − cos x + 2 ∫ 1 + sin x + cos x dx . Tính tích phân: sin x − cos x + 2 d(1 + sin x + cos x) dx ∫ 1 + sin x + cos x dx = − ∫ + 2∫ Ta viết: . 1 + sin x + cos x 1 + sin x + cos x 53 bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ x Đặt t = tg , suy ra: 2 dx dt ∫ 1 + sin x + cos x = ∫ 1 + t = ln 1 + t + C . Cố lại biến chuyển cũ, ta được: sin x − cos x + 2 x ∫ 1 + sin x + cos x dx = − ln 1 + sin x + cos x + 2 ln 1 + tg 2 + C . ∫ sin m x cos n xdx , trong những số ấy m, n là các số nguyên3.1.4.2. Tích phân dạng • trường hợp m là số nguyên dương lẻ, ta để t = cos x . • nếu n là số nguyên dương lẻ, ta để t = sin x . • nếu như m, n là những số nguyên dương chẵn, ta thực hiện công thức hạ bậc: 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin 2 x = ;cos 2 x = 2 2 rồi mang đến tích phân dạng ∫ sin k 2x cos e 2xdx. Ví dụ như 11: Tính những tích phân biến động a) I1 = ∫ sin 3 x cos 2 xdx Đặt cos x = t ⇒ − sin xdx = dt ; ta có: t5 t3 cos5 x cos3 x ∫ sin x cos xdx = ∫ (1 − t )t (−dt) = − +C = − +C. 3 2 22 53 5 3 b) I 2 = ∫ sin 4 x cos 2 xdx áp dụng công thức hạ bậc ta có: (1 − cos 2x)2 1 + cos 2x 1 dx = ∫ (1 − cos 2x − cos2 2x + cos3 2x ) dx I2 = ∫ 4 2 8 1 + cos 4x 1⎛ ⎞ sin 2x 1 −∫ dx + ∫ (1 − sin 2 2x)d(sin 2x) ⎟ ⇒ I2 = ⎜ x − 8⎝ 2 2 2 ⎠ 1 ⎛ x sin 2x sin 4x sin 2x sin 3 2x ⎞ ⇒ I2 = ⎜ − − + − ⎟+C. 8⎝ 2 2 8 2 6⎠ Đối cùng với tích phân I 2 sau thời điểm sử dụng cách làm hạ bậc lần trước tiên ta cũng có thể tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới vết tích phân vày công thức: 3sin x − sin 3x 3cos x + cos 3x sin 3 x = ;cos3 x = . 4 454 bài xích 3: Phép tính tích phân Áp dụng vào tích phân I 2 , ta có: 1 + cos 4x 3cos 2x + cos 6x ⎞ 1⎛ ∫ ⎜1 − cos2x − 2 + I2 = ⎟ dx 8⎝ 4 ⎠ 1 ⎛ x sin 2x sin 4x sin 6x ⎞ ⇒ I2 = ⎜ − − + ⎟+C. 8⎝ 2 8 8 24 ⎠ trong trường vừa lòng tổng quát sau khoản thời gian sử dụng công thức hạ bậc, rất có thể xuất hiện các tích phân dạng: ∫ sin ax cos bxdx; ∫ cos ax cos bxdx; ∫ sin ax sin bxdx cùng với a ≠ b . Những tích phân dạng này có thể tính dễ dàng dàng bằng phương pháp biến thay đổi tổng như sau: 1 ∫ sin ax cos bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ cos(a + b)x cos(a − b)x ⎤ =− ⎢ + +C. A−b ⎥ 2⎣ a+b ⎦ 1 ∫ cos ax cos bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ sin(a + b)x sin(a − b)x ⎤ = + +C. 2⎢ a+b a−b ⎥ ⎣ ⎦ 1 ∫ sin ax sin bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ sin(a − b)x sin(a + b)x ⎤ = − + C. 2⎢ a−b a+b ⎥ ⎣ ⎦ ∫ R(sin x, cos x)dx lúc tích phân có thêm những đặc thù đặc biệt, ta rất có thể sử dụng những phép đổi biến đổi như sau: Đặt t = cosx trường hợp R (–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx). . Đặt t = sinx nếu như R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx). Đặt t = tgx nếu R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) .Ví dụ 12: dx ∫ sin x cosTính tích phân: 4 xĐặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx , ta có: ⎡1 1 1⎤ −dt 1 1 1 t +1 dx 1∫ sin x cos =∫ = ∫⎢ 4 − 2 − + ⎥ dt = − 3t 3 − t + 2 ln t − 1 + C (1 − t )t 2(t − 1) 2(t + 1) ⎦ 4 24 x ⎣t t 1 1 + cos x dx 1 1⇒∫ =− − + ln +C 3cos x cos x 2 1 − cos x 4 3 sin x cos x 55 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1.5. Tích phân hàm cất căn thức ∫ R(x, ∫ R(x, α 2 ± x 2 )dx , x 2 − α 2 )dx , trong những số ấy R(u, v) là Xét tích phân bao gồm dạng những hàm số hữu tỷ. • Đặt x = α tg t so với tích phân ∫ R(x, α 2 + x 2 )dx . • Đặt x = α sin t hoặc x = a cos t so với tích phân ∫ R(x, α 2 − x 2 )dx . α α so với tích phân ∫ R(x, x 2 − α 2 )dx . • Đặt x = hoặc x = cos t sin t lấy một ví dụ 13: Tính các tích phân sau: 3 − ∫ (1 − x 2 a) ) dx . 2 ⎛ π π⎞ Đặt x = sin t, t ∈ ⎜ − , ⎟ ⇒ dx = cos tdt, 1 − x 2 = cos t , cùng ⎝ 2 2⎠ 3 dt − ∫ (1 − x ) dx = ∫ = tg t + C = tg(arcsin x) + C . 2 2 cos 2 t dx ∫x b) . 1+ x2 2 ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ dt Đặt x = tg t ⎜ t ∈ ⎜ − , ⎟ ⎟ ⇒ dx = , ta có: cos 2 t ⎝ ⎝ 2 2 ⎠⎠ dx cos tdt 1 1 ∫x =∫ =− +C = − +C. 2 sin t sin t sin(arctg x) 1+ x2 23.2. Tích phân xác định3.2.1. định nghĩa tích phân xác định. Điều kiện khả tích3.2.1.1. Bài toán diện tích s hình thang cong đến hàm số y = f (x) khẳng định và thường xuyên trên đoạn < a, b > cùng giả sử f (x) ko âm trên đoạn đó. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ vật thị của hàm số y = f (x) ( x ∈ < a, b > ); những đường trực tiếp x = a, x = b cùng trục Ox. Tính diện tích S của hình thang cong AabB. Ta chia đoạn < a, b > thành n đoạn nhỏ dại bởi những điểm chia: x 0 ≡ a bài xích 3: Phép tính tích phân chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong bé dại A i x i x i +1A i +1 . Ta rất có thể xấp xỉ diện tích của mỗi hình thang cong nhỏ dại đó bởi diện tích s của hình chữ nhật có cùng lòng dưới và độ cao f (ξi ) , trong số đó ξi là một trong điểm ngẫu nhiên nằm giữa x i và x i +1 . Call Si là diện tích s của hình thang cong nhỏ thứ i, ta có: ham ≈ f (ξi )(x i +1 − x i ) = f (ξi )Δx i . Vậy diện tích S của hình thang cong AabB rất có thể xấp xỉ vì công thức: n −1 S ≈ ∑ f (ξi )Δx i . I=0 Tổng sinh hoạt vế đề xuất được điện thoại tư vấn là tổng tích phân ứng với phân hoạch π và cách chọn điểm ξi ∈ < x i , x i +1 > . Lúc số điểm phân chia n phệ lên vô hạn và độ dài các đoạn chia Δx i nhỏ dại dần thì cạnh trên của hình chữ nhật trang bị i càng tiếp giáp với hình dáng của đồ dùng thị của f (x) bên trên đoạn < x i , x i+1 > , phép xấp xỉ diện tích s S bởi tổng diện tích những hình chữ nhật nói bên trên càng chủ yếu xác. Khi n tiến ra vô cùng, giới hạn của tổng sinh hoạt vế phải đó là diện tích S của hình thang cong AabB: S = lim σ (3.1) n →∞ vào toán học, giới hạn ở vế phải trong số những ràng buộc một mực được điện thoại tư vấn là tích phân xác minh của hàm số f (x) trên đoạn < a, b >3.2.1.2. Định nghĩa tích phân xác minh Định nghĩa: mang lại hàm số f (x) khẳng định trên đoạn < a, b > . Phân hoạch đoạn < a, b > bởi những điểm phân tách x 0 ≡ a bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ với cùng 1 phân hoạch π bất kỳ của đoạn < 0,1> và giải pháp chọn điểm ξi ∈ < x i , x i +1 > , ta lập tổng tích phân: n −1 n −1 σ = ∑ f (ξi )Δx i = C∑ Δx i = C . I=0 i=0 Theo tư tưởng tích phân xác định, ta có một ∫ Cdx = lim σ = C . Max Δx i → 0 0 CHÚ Ý : Tích phân khẳng định của một hàm số khả tích f (x) trên đoạn < a, b > là một vài xác định, vì vậy tích phân không phụ thuộc vào vào ký hiệu của phát triển thành số dưới vết tích phân b b b ∫ f (x)dx = ∫ f (u)du = ∫ f (t)dt = ... A a a3.2.1.3. Điều khiếu nại khả tích Ta vượt nhận những định lý sau về tính khả tích của các hàm số. Định lý 1: Điều kiện bắt buộc để một hàm số f (x) khả tích trên đoạn < a, b > là nó bị chặn trên đoạn đó. Định lý 2: Một hàm số f (x) xác định trên đoạn < a, b > khả tích bên trên đoạn kia nếu nó chấp thuận một trong số điều kiện sau đây: f (x) tiếp tục trên đoạn < a, b > . • f (x) đơn điệu với bị chặn trên < a, b > . • f (x) bị chặn và chỉ tất cả hữu hạn điểm ngăn cách trên < a, b > . • CHÚ Ý : tự định lý 2 khi đã biết hàm số f (x) khả tích trên đoạn < a, b > thì giới hạn của tổng tích phân không nhờ vào vào bí quyết phân hoạch đoạn < a, b > và phương pháp chọn điểm ξi . Vì thế khi tính tích phân khẳng định của một hàm khả tích bằng định nghĩa, ta triển khai việc chia phần nhiều đoạn < a, b > , và chọn điểm ξi trùng với một trong hai đầu mút của đoạn < x i , x i +1 > , (với 0 ≤ i ≤ n − 1 ). Lúc đó ta có i(b − a) b−a xi = a + ; Δx i = ; ξi = x i hoặc ξi = x i +1 n n58 bài xích 3: Phép tính tích phân lấy ví dụ 15: 1 Tính tích phân ∫ x 2 dx . 0 thường thấy hàm số f (x) = x 2 liên tục và vì vậy khả tích bên trên đoạn < 0,1> . Phân hoạch đoạn <0,1> bởi những điểm phân tách i 0 ≡ x 0 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ b c b ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . A a c • đặc thù tuyến tính của tích phân khẳng định b b b ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx a a a trong những số đó α, β là những hằng số với f (x);g(x) là các hàm số khả tích trên đoạn < a, b > . • mang sử f (x), g(x) là nhị hàm số khả tích bên trên đoạn < a, b > và f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ < a, b > , ta có : b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx . A a vết “=” xẩy ra khi và chỉ khi f (x) = g(x) với tất cả x ∈ < a, b > • nếu f (x) khả tích trên đoạn < a, b > thì hàm số f (x) cũng khả tích trên đoạn đó và b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ f (x) dx . A a • trả sử hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn < a, b > thì tồn tại tối thiểu một điểm c ∈ < a, b > sao cho : b ∫ f (x)dx = f (c)(b − a) . A3.2.2. Phương pháp đạo hàm theo cận trên mang sử f (x) là 1 trong những hàm số liên tiếp trên đoạn < a, b > . Lúc đó f (x) cũng khả tích bên trên đoạn < a, x > cùng với x là 1 trong điểm ngẫu nhiên thuộc đoạn < a, b > . X Xét hàm số: Φ (x) = ∫ f (t)dt, x ∈ < a, b > . A Hàm số Φ ( x) được call là hàm cận trên. Định lý: nếu như f (x) là hàm số liên tiếp trên đoạn < a, b > thì hàm cận trên Φ ( x) là hàm khả vi liên tiếp trên đoạn đó, và với tất cả điểm x ∈ < a, b > ta có: ⎛x ⎞ Φ "(x) = ⎜ ∫ f (t)dt ⎟ " = f (x) . ⎝a ⎠ nhấn xét: công thức nói trên đến ta thấy hàm cận bên trên Φ ( x) là 1 trong nguyên hàm của hàm số dưới dấu vết phân f (x) bên trên đoạn < a, b > . Và bởi thế mọi hàm số liên tục đều có nguyên hàm.60 bài bác 3: Phép tính tích phân3.2.3. Công thức Newton – Leibnitz b ∫ f (x)dx = F(x) b = F(b) − F(a) a a trong số ấy F(x) là 1 trong những nguyên hàm bất kỳ của hàm số tiếp tục f (x) . Công thức Newton – Leibnitz cho phép ta tính tích phân khẳng định thông qua nguyên hàm của hàm số đó. Bệnh minh: bởi hàm cận bên trên Φ ( x) là một trong nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn < a, b > đề nghị ta tất cả F(x) = Φ (x) + C . Cầm x = a ta có: F(a) = Φ (a) + C = C . X Suy ra: ∫ f (t)dt = Φ (x) = F(x) − C = F(x) − F(a) . A b nắm x = b ta được: ∫ f (t)dt = F(b) − F(a) . A ví dụ như 16: Tính các tích phân xác định: 2 a) I1 = ∫ x − 1 dx . 0 Ta thấy rằng tích phân của hàm số f (x) = x − 1 không suy ra thẳng được từ bỏ bảng các tích phân cơ bản, cho nên vì thế ta buộc phải khử được vết giá trị tuyệt vời của hàm dưới vết tích phân. Cho nên vì thế ta chia đoạn rước tích tạo thành hai đoạn: bên trên đoạn <0,1> hàm số f (x) = 1 − x , bên trên đoạn <1, 2> hàm số f (x) = x − 1 . Sau đó dùng công thức Newton – Leibnitz ta tính được tích phân: 1 2 ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ 1 2 I1 = ∫ (1 − x)dx + ∫ (x − 1)dx = ⎜ x − ⎟ + ⎜ − x ⎟ = 1 . 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎝ ⎠1 0 1 0 b) I 2 = ∫ x arctg(x + 1)dx . −1 Ta kiếm tìm một nguyên hàm của hàm dưới dấu vết phân ⎛ x2 ⎞ x2 1 x 2 dx F(x) = ∫ x arctg xdx = ∫ arctg xd ⎜ ⎟ = arctg x − ∫ . 2 1+ x2 ⎝2⎠ 2 x2 1 Suy ra F(x) = arctg x − (x − arctgx) và theo công thức Newton – Leibnitz: 2 2 0 π−2 ∫ x arctg(x + 1)dx = F(0) − F(−1) = . 4 −1 61 bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.2.4. Các cách thức tính tích phân khẳng định Ta sẽ biết bí quyết Newton – Leibnitz được cho phép tính tích phân xác định khi sẽ biết nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân, vì vậy các phương pháp tính tích phân cô động đều được sử dụng để tính tích phân xác định như là: cách thức khai triển, đổi khác vi phân, đổi đổi mới và tích phân từng phần. Tuy vậy khi dùng phương pháp đổi biến, ta không nhất thiết phải đổi lại biến ban đầu mà chỉ việc tính lại cận tích phân tương ứng. Sau đây trình bày lại hai phương pháp đổi biến đối với tích phân xác định, và công thức tích phân từng phần.3.2.4.1. Phương thức tích phân từng phần b b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu b a a trong số đó u (x), v(x) là các hàm số tất cả đạo hàm liên tục. Phương pháp này được áp dụng trong trường vừa lòng hàm dưới dấu tích phân có chứa những hàm số a x , e x , ln x , các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược. Lấy một ví dụ 17: 1 Tính tích phân: I = ∫ xe3x dx . 0 ⎧du = dx ⎧u = x ⎪ ⇒⎨ Đặt: ⎨ e3 x dv = e3x dx ⎪ v = ⎩ ⎩ 3 1 1 2e3 + 1 xe3x e3 1 1 1 − ∫ e3x dx = − e3x = suy ra: I = . 3 0 30 39 9 03.2.4.2. Phương thức đổi đổi mới b đưa sử ta đề nghị tính tích phân ∫ f (x)dx , trong các số ấy f (x) là hàm số thường xuyên trên đoạn < a, b > . A • Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x = ϕ(t) , trong đó: Hàm số ϕ( t) xác định, liên tục và bao gồm đạo hàm thường xuyên trên đoạn < α, β> ϕ(α) = a, ϕ(β) = b . Lúc t biến chuyển thiên trong đoạn < α, β> hàm số x = ϕ(t) dấn giá trị tương ứng trong đoạn < a, b > .

Xem thêm: Điều Kiện Tối Thiểu Để Thành Lập Chi Đoàn Là Gì ? Điều Kiện Tối Thiểu Thành Lập Chi Đoàn Là Gì

β β b ∫ f (x)dx = ∫ f <ϕ(t)> ϕ "(t)dt = ∫ g(t)dt . Khi đó: α α a • Phép đổi trở nên thứ hai: Đặt t = ϕ(x) , trong đó:62