Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài bác giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ví dụ: khẳng định cận lấy tích phân sau trong tọa độ cực:

1. D giới hạn bởi :

*

Ta có: D giới hạn bởi mặt đường tròn trung khu O , bán kính 1 yêu cầu O phía trong miền D, và đông đảo tia bắt đầu từ O giảm biên tại 1 điểm có: r = 1 vì thế theo (3) ta tất cả :

*

2 D giới hạn bởi

*

*
Dựa vào hình vẽ ta thấy: 2 tia bắt nguồn từ O xúc tiếp với mặt đường tròn chính là 2 tia
*
,
*

Do đường tròn đi qua O buộc phải cận dưới r = 0, cận trên,: chuyển D qua tọa độ cực ta bao gồm

*

Vậy cận đem tích phân của miền D là:

*

3. D số lượng giới hạn bởi

*

Hoàn toàn tương tự, các bạn sẽ tìm được cận đem tích phân của miền D là:

*

*
4. D là miền số lượng giới hạn bởi con đường tròn trung khu I(a;b) , nửa đường kính R bất kỳ.

Bạn đang xem: Tích phân 2 lớp

Trong trường đúng theo này, việc tìm ra phương trình của 2 tia OA, OB sẽ khá vất vả, thỉnh thoảng lại không rơi vào các góc đặc biệt. Và việc đào bới tìm kiếm ra phương trình của cung lớn, cung nhỏ dại AB cũng chưa phải đơn giản.

Tuy nhiên, trường hợp tịnh tiến trọng tâm đường tròn về góc tọa độ thì vấn đề sẽ đơn giản dễ dàng hơn không ít vì vẫn trở về ví dụ như 1.

Với miền D tất cả dạng này, trước tiên ta đổi biến. Đặt:

*

Khi đó:

*

5. Mang lại

*
với D là miền số lượng giới hạn bởi các đường thẳng:
*

Ở đây, mặc dù miền D là miền tam giác với ta thuận lợi xác định cận số lượng giới hạn của miền D là:

*
, nhưng trong hàm mang tích phân là
*
cho nên việc lấy tích phân sẽ phức tạp. Bởi đó, yêu cầu chuyển lịch sự tọa độ cực.

Khi đó: bạn dễ dãi nhận thấy miền D giới hạn bởi 2 tia

*
, nơi bắt đầu O thuộc miền D nên chỉ cần tìm cận trên của r . Dựa vào hình vẽ: cận trên được xác định
*

Vậy:

*

Cách 2: xác định cận bằng cách thức đại số.

Chuyển những phương trình mặt đường cong thanh lịch tọa độ cực. Chú ý điều kiện thuở đầu

*
\left(<-\pi;\pi> \right) " class="latex" /> khi đó: bạn sẽ có các trường vừa lòng sau:

TH1: chỉ tất cả duy nhất con đường cong

*

Trường đúng theo này, ta tìm điều kiện của

*
nhằm
*
. Khi đó, kết hợp điều kiện
*
" class="latex" /> ta bao gồm cận của
*
; còn cận của r đang là:
*

Ví dụ 1: khẳng định cận của tích phân vào tọa độ cực nếu D là miền số lượng giới hạn bởi

*

Ta có:

*
" class="latex" />

Do kia cận rước tích phân được khẳng định bởi:

*

Ví dụ 2: Xác định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền số lượng giới hạn bởi đường cong:

*

Rõ ràng, vào trường thích hợp này, việc vẽ miền D để xác minh cận là việc làm tương đối khó khăn.

Nếu chuyển hẳn qua tọa độ cực, ta có:

*

Hay:

*

Do điểm (0;0) nằm trê tuyến phố cong, nên gốc O ở trong vào miền lấy tích phân D. Nên:

*

Như vậy, ta phải có điều kiện:

*

Nghĩa là:

*
" class="latex" /> hoặc
*
" class="latex" />

Như vậy miền D có hai miền:

*

*

TH2: thu được 2 đường cong xác minh bởi:

*

Với trường đúng theo này, ta cần tìm điều kiện của

*
để:

*

Ví dụ: D là miền giới hạn nằm ở ngoài đường tròn trung ương O, bán kính 1 và bên trong đường tròn trọng tâm I(1;0) bán kính 1.

Theo mang thiết ta có:

*

Chuyển qua tọa độ cực ta có:

*

Hay:

*

Như vậy, ta phải có điều kiện:

*

Từ đó, ta có:

*

Vậy:

*

Ngoài ra, còn một trong những trường hợp khác dành riêng cho các bạn nghiên cứu thêm.

3. Đổi biến đổi trong tích phân kép:

Cho hàm số f(x;y) tiếp tục trong miền D đóng với bị chặn.

Xét phép đổi biến:

*
(1)

Giả sử:

– D’ là tạo ảnh của D qua phép thay đổi (1)

– (1) xác định một tuy nhiên ánh từ bỏ D’ lên D. (Nghĩa là phép đổi trở nên biến miền D trong mp(Oxy) thành miền D’ trong mp(O’uv) sao cho mỗi điểm (u;v) trực thuộc D’ chỉ tương xứng duy nhất với cùng 1 điểm (x;y) nằm trong D).

Xem thêm: Bài Cúng Đốt Quần Áo Tháng 7 Văn Khấn Đốt Vàng Mã Rằm Tháng 7

– những hàm số x(u;v) cùng y(u;v) liên tục và gồm đạo hàm riêng thường xuyên trên D’, thỏa mãn nhu cầu điều kiện:

*

(J được hotline là định thức Jacobi của các hàm số x và y)

Khi đó, ta tất cả công thức đổi biến chuyển sau:

*
.|J| \, dudv " class="latex" />

(Ta công nhận công thức đổi trở thành trên)

*
Ví dụ: Tính
*
cùng với D số lượng giới hạn bởi:
*
;
*
;
*
;
*

Với miền D cho như trên, nếu làm theo cách thông thường, dù rước theo phương nào, ta đề xuất chia miền D thành những miền nhỏ. Vì chưng đó, việc đo lường và thống kê sẽ phức tạp.

Dễ dàng nhận biết miền D bị số lượng giới hạn bởi 2 cặp mặt đường thẳng tuy vậy song. Cặp đầu tiên có dạng:

*
với cặp sản phẩm hai tất cả dạng:
*