Một số phức là 1 biểu thức có dạng a + bi, trong các số đó a, b là những số thực và số i chấp nhận i2 = -1. Cam kết hiệu số phức sẽ là z và viết z = a + bi .

Bạn đang xem: Số phức i mũ n

i được gọi là đơn vị chức năng ảo a được điện thoại tư vấn là phần thực. Ký kết hiệu Re(z) = a b được call là phần ảo của số phức z = a + bi , ký kết hiệu Im(z) = bTập hợp những số phức ký kết hiệu là C.

*) Chú ý:

- Mỗi số thực a dương đa số được xem như là số phức cùng với phần ảo b = 0.

- Số phức z = a + bi tất cả a = 0 được gọi là số thuần ảo xuất xắc là số ảo.

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

2. Hai số phức bằng nhau.

đến z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

*

3. Biểu diễn hình học tập của số phức.

từng số phức được màn biểu diễn bởi một điểm M(a;b) cùng bề mặt phẳng toạ độ Oxy.

Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi .

4. Phép cùng và phép trừ những số phức.

mang lại hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

*

5. Phép nhân số phức.

mang đến hai số phức z = a + bi với z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

 $zz"=aa"-bb"+(ab"-a"b)i$

6. Số phức liên hợp.

cho số phức z = a + bi. Số phức $overlinez$ = a – bi hotline là số phức liên phù hợp với số phức trên.

Vậy $overlinez$ = $overlinea+bi$= a - bi

Chú ý:  10) $overlineoverlinez$ = z Þ z và $overlinez$ call là hai số phức liên hợp với nhau.

20) z.$overlinez$ = a2 + b2

*) đặc điểm của số phức liên hợp:

(1): $overlineoverlinez=z$

(2):

(3):

(4): z.$overlinez$= $sqrta^2+b^2$(z = a + bi )

7. Môđun của số phức.

đến số phức z = a + bi . Ta ký hiệu $left| z ight|$ là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác minh như sau:

- ví như M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì $left| z ight|$ = $$=$sqrta^2+b^2$

- ví như z = a + bi, thì $left| z ight|$ = $sqrtz.overlinez$=$sqrta^2+b^2$

8. Phép phân tách số phức không giống 0.

mang lại số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )

Ta có mang số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số

z-1= $frac1a^2+b^2overlinez=frac1^2overlinez$

Thương $fracz"z$của phép phân chia số phức z’ mang đến số phức z ≠ 0 được khẳng định như sau:

$fracz"z=z.z^-1=fracz".overlinezleft^2$

Với những phép tính cộng, trừ, nhân phân tách số phức nói bên trên nó cũng đều có đầy đủ đặc điểm giao hoán, phân phối, phối kết hợp như những phép cộng, trừ, nhân, phân chia số thực thông thường.

B. Bài xích tập minh họa

Phương pháp:

Sử dụng những công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức.Chú ý cho cưng: vào khi thống kê giám sát về số phức ta cũng có thể sử dụng những hằng đẳng thức kỷ niệm như trong số thực. Ví dụ điển hình bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…

Câu1: đến số phức z = $fracsqrt32-frac12i$

Tính những số phức sau: $overlinez$; z2; ($overlinez$)3; 1 + z + z2

Giải:

Vì z = $fracsqrt32-frac12i$ Þ $overlinez$ = $fracsqrt32+frac12i$Ta gồm z2 = $left( fracsqrt32-frac12i ight)^2$==$frac12-fracsqrt32i$

Þ ($overlinez$)2 = $left( fracsqrt32+frac12i ight)^2=frac34+frac14i^2+fracsqrt32i=frac12+fracsqrt32i$

($overlinez$)3 =($overlinez$)2 . $overlinez$ = $left( frac12+fracsqrt32i ight)left( fracsqrt32+frac12i ight)=fracsqrt34+frac12i+frac34i-fracsqrt34=i$

Ta có: 1 + z + z2 = $1+fracsqrt32-frac12i+frac12-fracsqrt32i=frac3+sqrt32-frac1+sqrt32i$

Nhận xét: Trong câu hỏi này, nhằm tính $left( overlinez ight)^3$ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong những thực.

Câu 2: tìm kiếm số phức phối hợp của: $z=(1+i)(3-2i)+frac13+i$

Giải:

 Ta gồm : $z=5+i+frac3-i(3+i)(3-i)=5+i+frac3-i10$

 Suy ra số phức phối hợp của z là: $overlinez=frac5310-frac910i$

Câu 3: search mô đun của số phức $z=frac(1+i)(2-i)1+2i$

 

Giải:  Ta bao gồm : $z=frac5+i5=1+frac15i$

Vậy, tế bào đun của z bằng: $left| z ight|=sqrt1+left( frac15 ight)^2=fracsqrt265$

 

Câu 4: Tìm những số thực x, y thoả mãn:

3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

 

Giải:

Theo mang thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

Û (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

*
Giải hệ này ta được:
*

Câu 5: Tính:

i105  + i23 + i20 – i34

Giải:

Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ quá của đơn vị ảo như sau:

Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i  = 1; i5 = i; i6 = -1…

Bằng quy nạp dễ dàng dàng minh chứng được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; " n Î N*

Vậy in Î -1;1;-i;i, " n Î N.

trường hợp n nguyên âm, in = (i-1)-n = $left( frac1i ight)^-n=left( -i ight)^-n$.

vì vậy theo công dụng trên, ta thuận lợi tính được:

i105  + i23 + i20 – i34 = i4.26+1  + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2

Câu 6: Tính số phức sau:

z = (1+i)15

Giải:

Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i Þ (1 + i)14 = (2i)7  = 128.i7 = -128.i

z = (1+i)15  = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

Xem thêm: Hồ Sơ Pháp Lý - Tìm Hiểu Các Bước Của Quy Trình Pháp Lý Dự Án

Câu 7: Tính số phức sau: z =

Giải:

Ta có: $frac1+i1-i=frac(1+i)(1+i)2=frac2i2=i$

Þ $frac1-i1+i=-i$. Vậy =i16 +(-i)8 = 2

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: hotline $z_1$ và $z_2$ là những nghiệm của phương trình $z^2-2z+5=0$. Tính $P=z_1^4+z_2^4$

 A.– 14 B. 14 C. -14i D. 14i

Câu 2: mang đến số phức $z=3+4i,$và $arz$ là số phức phối hợp của $z$. Phương trình bậc hai nhận $z$ với $arz$ có tác dụng nghiệm là:

A. $z^2-6z+25=0$ B. $z^2+6z-25=0$

C. $z^2-6z+frac32i=0$ D. $z^2-6z+frac12=0$

Câu 3: mang đến số phức z có phần ảo âm và vừa lòng $z^2-3z+5=0$ . Tìm mô đun của số phức:$omega =2z-3+sqrt14$

A. 4 B. $sqrt17$ C. $sqrt24$ D. 5

Câu 4: call $z_1$ với $z_2$ theo lần lượt là nghiệm của phươngtrình: $z^2-2z+5=0$. Tính $mathbbF=left| z_1 ight|+left| z_2 ight|$

A. $2sqrt5$ B. 10 C. 3 D. 6

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn:$(3+2i)z+(2-i)^2=4+i.$ Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là:

A. 1 B. 0 C. 4 D.6

Câu 6: mang đến số phức z thỏa mãn:$arz(1+2i)=7+4i$.Tìm tế bào đun số phức $omega =z+2i$.

A. 4 B. $sqrt17$ C. $sqrt24$ D. 5

Câu 7: Dạng z = a+bi của số phức $frac13+2i$ là số phức nào dưới đây?

A. $frac313-frac213i$ B. $frac313+frac213i$ C. $-frac313-frac213i$ D. $-frac313+frac213i$

Câu 8: Mệnh đề như thế nào sau đây là sai, khi nói về số phức?

A. $z+arz$ là số thực B. $overlinez+z"=arz+arz"$ C. $frac11+i+frac11-i$ là số thực. D. $(1+i)^10=2^10i$

Câu 9: mang lại số phức $z=3+4i$. Khi ấy môđun của $z^-1$ là:

A. $frac1sqrt5$ B. $frac15$ C. $frac14$ D. $frac13$

 Câu 10: mang đến số phức $z=frac1+i1-i+frac1-i1+i$. Vào các kết luận sau kết luận nào đúng?