Trong mặt phẳng(Oxy)cho đường thẳng(left(C
ight))tâm(Ileft(a;b
ight)), chào bán kính(R).
Bạn đang xem: Phương trình duong tron
Ta có(Mleft(x;y ight)inleft(C ight)Leftrightarrow IM=R)
(Leftrightarrowsqrtleft(x-a ight)^2+left(y-b ight)^2=R)
(Leftrightarrowleft(x-a ight)^2+left(y-b ight)^2=R^2)
Phương trình(left(x-a ight)^2+left(y-b ight)^2=R^2)được gọi làphương trình đường tròn tâm(Ileft(a;b ight))bán kính(R).
Chẳng hạn, phương trình con đường tròn tâm(Ileft(2;-3 ight))bán kính(R=5)là:(left(x-2 ight)^2+left(y+3 ight)^2=25)
Ví dụ 1: đến hai điểm (Aleft(1;2 ight))và (Bleft(-3;4 ight)). Viết phương trình mặt đường tròn (left(C ight))đường kính(AB).
Giải:
Gọi(I)là trung điểm của đoạn thẳng(AB). Ta có(Ileft(-1;3 ight))
Bán kính của con đường tròn(left(C ight))là(IA=sqrtleft(-1-1 ight)^2+left(3-2 ight)^2=sqrt5)
Như vậy ta đượcđường tròn(left(C ight))tâm(Ileft(-1;3 ight))bán kính(R=sqrt5)
Suy ra phương trình con đường tròn(left(C ight))là:(left(x+1 ight)^2+left(y-3 ight)^2=5).
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn tâm(Ileft(2;-3 ight))và trải qua điểm(Mleft(-2;3 ight)).
Giải:
Với(Ileft(2;-3 ight)),(Mleft(-2;3 ight))ta có(IM=sqrtleft(2+2 ight)^2+left(-3-3 ight)^2=sqrt52)
Đường tròn tâm(I)và đi qua điểm(M)có phân phối kính(R=IM=sqrt52)
Do đó ta tất cả phương trình mặt đường tròn là:(left(x-2 ight)^2+left(y+3 ight)^2=52).
Ví dụ 3: Tìm trung ương và chào bán kính của những đường tròn sau:
a)(x^2+y^2-2x-2y-2=0) ;
b)(16x^2+16y^2+16x-8y-11=0)
Giải:
a) Ta có:(x^2+y^2-2x-2y-2=0)(Leftrightarrowleft(x-1 ight)^2+left(y-1 ight)^2=4)
Vậy mặt đường tròn này có tâm(Ileft(1;1 ight))và chào bán kính(R=2).
b) Ta có:(16x^2+16y^2+16x-8y-11=0)
(Leftrightarrow x^2+y^2+x-dfrac12y-dfrac1116=0)
(Leftrightarrowleft(x+dfrac12 ight)^2+left(y-dfrac14 ight)^2=1)
Vậy con đường tròn này có tâm(Ileft(-dfrac12;dfrac14 ight))bán kính(R=1).
Chú ý: Phương trình mặt đường tròn có tâm là cội toạ độ(O)và có phân phối kính(R)là:
(x^2+y^2=R^2)
2. Dìm xét
Phương trình con đường tròn(left(x-a ight)^2+left(y-b ight)^2=R^2)có thể được viết bên dưới dạng(x^2+y^2-2ax-2by+c=0), trong đó(c=a^2+b^2-R^2).
Ngược lại, phương trình(x^2+y^2-2ax-2by+c=0)làphương trình của mặt đường tròn(left(C ight))khi còn chỉ khi(a^2+b^2-c>0). Lúc ấy đường tròn(left(C ight))có tâm(Ileft(a;b ight))và buôn bán kính(R=sqrta^2+b^2-c).
Ta xét lại lấy ví dụ như 3 trên tuy nhiên với cách có tác dụng khác.
Ví dụ 3:Tìm tâm và chào bán kính của những đường tròn sau:
a)(x^2+y^2-2x-2y-2=0) ;
b)(16x^2+16y^2+16x-8y-11=0)
Giải:
a) Ta có(x^2+y^2-2x-2y-2=0)(Leftrightarrow)(x^2+y^2-2.1.x-2.1y-2=0)
Suy ra phương trình bên trên có các hệ số(a=1,b=1,c=-2)
Nên con đường tròn gồm tâm(Ileft(1;1 ight))và chào bán kính(R=sqrt1^2+1^2-left(-2 ight)=sqrt4=2)
b) Ta có(16x^2+16y^2+16x-8y-11=0)(Leftrightarrow x^2+y^2+x-dfrac12y-dfrac1116=0)
(Leftrightarrow x^2+y^2-2.dfrac-12.x-2.dfrac14.y-dfrac1116=0)
Suy ra phương trình trên có các hệ số(a=-dfrac12,b=dfrac14,c=-dfrac1116)
Nên con đường tròn tất cả tâm(Ileft(-dfrac12;dfrac14 ight)), phân phối kính(R=sqrtleft(-dfrac12 ight)^2+left(dfrac14 ight)^2-left(-dfrac1116 ight)=1)
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt đường tròn(left(C ight))đi qua 3 điểm(Aleft(1;2 ight)),(Bleft(5;2 ight))và(Cleft(1;-3 ight)).
Giải:
Gọi phương trình mặt đường tròn(left(C ight))là(x^2+y^2-2ax-2by+c=0)
Do(Aleft(1;2 ight)inleft(C ight))nên ta có(1^2+2^2-2.a.1-2.b.2+c=0)(Rightarrow2a+4b-c=5) (1)
Do(Bleft(5;2 ight)inleft(C ight))nên ta có(5^2+2^2-2.a.5-2.b.2+c=0)(Rightarrow10a+4b-c=29) (2)
Do(Cleft(1;-3 ight)inleft(C ight))nên ta có(1^2+left(-3 ight)^2-2.a.1-2.b.left(-3 ight)+c=0)(Rightarrow2a-6b-c=10)(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình(left{eginmatrix2a+4b-c=5\10a+4b-c=29\2a-6b-c=10endmatrix ight.)
Giải hệ phương trình bên trên ta được nghiệm(a=3,b=-dfrac12,c=-1)
Thay vào ta đượcphương trình con đường tròn(left(C ight))là(x^2+y^2-6x+y-1=0).
3. Phương trình tiếp tuyến đường của đường tròn
Cho điểm(M_0left(x_0;y_0 ight))nằm trê tuyến phố tròn(left(C ight))tâm(Ileft(a;b ight)).
Gọi(Delta)là tiếp tuyến đường với(left(C ight))tại(M_0).
Ta có(M_0)thuộc(Delta)và vectơ(overrightarrowIM_0=left(x_0-a;y_0-b ight))là vectơ pháp đường của(Delta).
Do đó(Delta)có phương trình là:
(left(x_0-a ight)left(x-x_0 ight)+left(y_0-b ight)left(y-y_0 ight)=0) (2)
Phương trình (2) làphương trình tiếp tuyếncủa mặt đường tròn(left(x-a ight)^2+left(y-b ight)^2=R^2)tại điểm(M_0)nằm trên tuyến đường tròn.
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm(Mleft(3;4
ight))thuộc đường tròn(left(C
ight):left(x-1
ight)^2+left(y-2
ight)^2=8).
Xem thêm: Sự Ảnh Hưởng Của Biển Đông Đến Thiên Nhiên Nước Ta Là Yếu T, Ảnh Hưởng Của Biển Đông Tới Thiên Nhiên Việt Nam
Giải:
Từ phương trình(left(x-1 ight)^2+left(y-2 ight)^2=8)ta suy ra(left(C ight))có tâm(Ileft(1;2 ight))
Suy ra phương trình tiếp đường với(left(C ight))tại(Mleft(3;4 ight))là
(left(3-1 ight)left(x-3 ight)+left(4-2 ight)left(y-4 ight)=0)
(Leftrightarrow2x+2y-14=0)
(Leftrightarrow x+y-7=0)
Vậyphương trình tiếp tuyến đường với(left(C ight))tại(Mleft(3;4 ight))là(x+y-7=0).