Nội dung bài bác ôn tập chươngGiới hạnsẽ giúp các em khối hệ thống hóa lại cục bộ kiến thức đã làm được học ởChương IV Đại số và Giải tích 11. Ngoài ra các em rất có thể đánh giá mức độ phát âm bài của mình thông qua bài bác kiểm tra Trắc nghiệm cùng với những câu hỏi có nút độ khó từ cơ phiên bản đến nâng cao.

Bạn đang xem: Ôn tập chương 4 đại số 11


1. Bắt tắt lý thuyết

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

HÀM SỐ LIÊN TỤC

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 4 chương 4 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm vềÔn tậpgiới hạn

3.2. Bài xích tập SGK & nâng cấp vềÔn tập giới hạn

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 4 giải tích 11


*

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1:

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, giả dụ (left| u_n ight|) gồm thể nhỏ hơn một số trong những dương bé nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:(mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = 0 m , tốt , mu_ mn o 0 m , khi, n o m + infty m.)

Định nghĩa 2:

Ta nói dãy số (un) có số lượng giới hạn là a xuất xắc (un) dần dần tới a khi n dần tới vô cực ((n o + infty )), nếu (mathop lim limits_n o + infty left( u_n - a ight) = 0. m )Kí hiệu: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = a m , hay, mu_ mn o a m , khi , n o m + infty m.)

Chú ý: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = lim left( u_n ight)).

2. Một vài giới hạn đặc biệt

(lim frac1n = 0 m , m limfrac m1 mn^ mk = 0 m , n in mathbbZ_ + ^*)

(lim left( q^n ight) = 0 m ) cùng với (left| q ight| n)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.

Một số định lý về số lượng giới hạn của dãy số:

Định lý 1: mang lại dãy số (un),(vn) cùng (wn) tất cả : ( mv_ mn le u_n le w_n m forall mn in mathbbN^ m*) và (lim left( v_n ight) = lim left( w_n ight) = a m Rightarrow mlimleft( mu_ mn ight) = a).

Định lý 2: ví như lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

(lim left( u_n pm v_n ight) = lim left( u_n ight) pm lim left( v_n ight) = a pm b)

(lim left( u_n.v_n ight) = lim u_n.lim v_n = a.b)

(lim fracu_nv_n = fraclim left( u_n ight)lim left( v_n ight) = fracab m ,left( mv_ mn e 0 m forall mn in mathbbN^ m*;b e 0 ight))

(lim sqrt u_n = sqrt lim left( u_n ight) = sqrt a m ,left( u_n ge 0 m ,a ge m0 ight))

Tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn tất cả công bội q ,với (left| q ight| 3. Hàng số dần dần tới vô cực

Ta nói hàng số (un) dần tới vô rất (left( u_n o + infty ight)) lúc n dần tới vơ cực (left( n o + infty ight)) nếu như un to hơn một số dương bất kỳ, tính từ lúc số hạng nào kia trở đi. Kí hiệu: lim(un)=( + infty ) hay un ( o + infty ) khi (n o + infty ).

Ta nói hàng số (un) có số lượng giới hạn là ( - infty ) khi (n o + infty ) trường hợp lim(left( - u_n ight) = + infty ).Ký hiệu: lim(un)=( - infty ) tuyệt un( o - infty ) lúc (n o + infty ).

4. Định lý

Nếu : (lim left( u_n ight) = 0 m left( mu_ mn e 0 m ,forall mn in mathbbN^ m* ight)) thì (lim frac1u_n = infty )

Nếu : (lim left( u_n ight) = infty m ) thì (lim frac1u_n = 0)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Số lượng giới hạn của dãy số (un) cùng với (u_n = fracPleft( n ight)Qleft( n ight)) cùng với P,Q là những đa thức:

Nếu bậc p. = bậc Q = k, hệ số tối đa của p. Là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk nhằm đi đến hiệu quả : (lim left( u_n ight) = fraca_0b_0).

Nếu bậc P bé dại hơn bậc Q = k, thì phân chia tử với mẫu mang lại nk nhằm đi đến kết quả :lim(un)=0.

Nếu k = bậc p. > bậc Q, chia tử với mẫu mang đến nk để đi đến kết quả :lim(un)=(infty ).

2. Giới hạn của hàng số dạng: (u_n = fracfleft( n ight)gleft( n ight)) , f và g là những biển thức cất căn.

Chia tử cùng mẫu mang lại nk với k lựa chọn thích hợp.

Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.


I.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Định nghĩa

Cho hàm số f(x) khẳng định trên khoảng chừng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần dần tới a nếu với đa số dãy số (xn), xn( in )K cùng xn( e )a ,(forall n in mathbbN^*) mà lim(xn)=a đều sở hữu lim=L.Kí hiệu:(mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> = L).

2.Một số định lý về giới hạn của hàm số

Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

Định lý 2:Nếu các giới hạn:(mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> = L m , m mathop lim limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = M) thì:

(mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> pm mathop lim limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = L pm M)

(mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight).gleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight>.mathop lim limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = L.M)

(mathop lim limits_x o a fracfleft( x ight)gleft( x ight) = fracmathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight>mathop lim limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = fracLM m , M e m0)

(mathop lim limits_x o a sqrt fleft( x ight) = sqrt mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> = sqrt L m ; fleft( x ight) ge 0,L ge 0)

Cho ba hàm số f(x), h(x) cùng g(x) khẳng định trên khoảng tầm K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)( le )f(x)( le )h(x) (forall x in K,x e a) và (mathop lim limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o a left< hleft( x ight) ight> = L Rightarrow mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> = L).

Mở rộng lớn khái niệm giới hạn hàm số:

Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với đa số dãy số (xn), lim(xn) = a , đều phải sở hữu lim=(infty ) thì ta nói f(x) dần dần tới vô rất khi x dần tới a, kí hiệu: (mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> = infty ).

Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = (infty ) đều phải sở hữu lim = L , thì ta nói f(x) có số lượng giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:(mathop lim limits_x o infty left< fleft( x ight) ight> = L).

Trong định nghĩa số lượng giới hạn hàm số chỉ yên cầu với gần như dãy số (xn), mà xn> a (forall n in mathbbN^*), thì ta nói f(x) tất cả giới hạn về bên phải trên a, kí hiệu :(mathop lim limits_x o a^ + left< fleft( x ight) ight>). Trường hợp chỉ yên cầu với đều dãy số (xn), xn2.

Nếu f(x) , g(x) là những biểu thức chứa căn thì nhân tử với mẫu cho những biểu thức liên hợp.

Giới hạn của hàm số dạng:(mathop lim limits_x o infty fracfleft( x ight)gleft( x ight) m left( fracinfty infty ight))

Chia tử cùng mẫu mang đến xkvới k lựa chọn thích hợp. Chăm chú rằng nếu như (x o + infty ) thì coi như x>0, ví như (x o - infty ) thì coi như x1. Hàm số liên tục tại một điểm bên trên một khoảng

Cho hàm số f(x) khẳng định trên khoảng chừng (a;b). Hàm số được call là thường xuyên tại điểm x0 ( in ) (a;b) nếu:(mathop lim limits_x o x_0 left< fleft( x ight) ight> = fleft( x_0 ight)).Điểm x0 tại kia f(x) không tiếp tục gọi là điểm ngăn cách của hàm số.

f(x) khẳng định trên khoảng chừng (a;b), thường xuyên tại điểm x0 ( in ) (a;b) ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o x_0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o x_0 left< fleft( x ight) ight> = fleft( x_0 ight)).

f(x) xác định trên khoảng chừng (a;b) được gọi là thường xuyên trên khoảng tầm (a;b) trường hợp nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng chừng ấy.

f(x) xác định trên khoảng chừng được điện thoại tư vấn là liên tiếp trên khoảng chừng nếu nó tiếp tục trên khoảng chừng (a;b) với (left{ eginarraylmathop lim limits_x o a^ + left< fleft( x ight) ight> = fleft( a ight)\mathop lim limits_x o b^ - left< fleft( x ight) ight> = fleft( b ight)endarray ight.)

2. Một trong những định lý về hàm số liên tục

Định lý 1: f(x) với g(x) liên tục tại x0 thì:(fleft( x ight) pm gleft( x ight) m , fleft( x ight).gleft( x ight) m , fracfleft( x ight)gleft( x ight) m left( gleft( x ight) e 0 ight)) cũng liên tục tại x0 .

Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập khẳng định của chúng.

Định lý 3: f(x) tiếp tục trên đoạn thì nó đạt GTLN, GTNN và hầu như giá trị trung giữa GTLN cùng GTNN trên đoạn đó.

Hệ quả: nếu như f(x) liên tiếp trên đoạn cùng f(a).f(b)1. Xét tính tiếp tục của hàm số dạng: (fleft( x ight) = left{ eginarraylgleft( x ight) m left( mx e mx_ m0 ight)\ ma left( mx = mx_ m0 ight)endarray ight. m )

Tìm (mathop lim limits_x o x_0 left< gleft( x ight) ight>).Hàm số liên tục tại x0 ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 left< gleft( x ight) ight> = a).

Xét tính liên tiếp của hàm số dạng: (fleft( x ight) = left{ eginarraylgleft( x ight) m left( mx mx_ m0 ight)endarray ight.)

Tìm : (left{ eginarraylmathop lim limits_x o x_0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o x_0^ - left< gleft( x ight) ight>\mathop lim limits_x o x_0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o x_0^ + left< gleft( x ight) ight>\fleft( x_0 ight)endarray ight.). Hàm số liên tục tại x = x0 ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o x_0^ - left< fleft( x ight) ight> = fleft( x_0 ight) = a).

2. Minh chứng phương trình f(x) = 0 bao gồm nghiệm trong khoảng (a;b)

Chứng tỏ f(x) thường xuyên trên đoạn .

Chứng tỏ f(a).f(b)Ví dụ 1:

Tìm các giới hạn:

a) (lim m sin frac1n.)

b) ( mlim cosfrac2n + 53n^2 - 4n + 1)

Hướng dẫn giải:

a) (lim frac1n = 0 Rightarrow lim m sin frac1n = sin 0 = 0.)

b) ( mlim cosfrac2n + 53n^2 - 4n + 1 = lim fracfrac2n + frac5n^23 - frac4n + frac1n^2 = 0 Rightarrow mlim cosfrac2n + 53n^2 - 4n + 1 = c mos0 = 1.)

Ví dụ 2:

Tính những giới hạn:

a) ( mlim frac1nsin (2n + 1).)

b) ( mlim frac52n + 3c mos(n^2 + 2n - 1).)

Hướng dẫn giải:

a) (sin(2n + 1) le 1 Rightarrow 0 le left| frac1nsin (2n + 1) ight| le frac1n o 0 Rightarrow lim frac1nsin (2n + 1) = 0.)

b) (left| c mos(n^2 + 2n - 1) le 1 ight| Rightarrow 0 le left| frac52n + 3c mos(n^2 + 2n - 1) ight| le frac52n + 3 o 0)

( Rightarrow lim frac52n + 3c mos(n^2 + 2n - 1) = 0.)

Ví dụ 3:

Tính các giới hạn:

a) (lim frac4n^2 + 5n - 15n^3 + 2n^2 + 4n + 1.)

b) (lim fracsqrt 4n^2 + 5n + 3 3n + 2.)

c) ( mlimsqrt 4n^2 + 5n + 3 - 2n)

Hướng dẫn giải:

a) (lim frac4n^2 + 5n - 15n^3 + 2n^2 + 4n + 1 = lim fracfrac4n + frac5n^2 - frac1n^35 + frac2n + frac4n^2 + frac1n^3 = lim frac05 = 0.)

b) (lim fracsqrt 4n^2 + 5n + 3 3n + 2 = lim fracfracsqrt 4n^2 + 5n + 3 nfrac3n + 2n = lim fracsqrt 4 + frac5n + frac3n^2 3 + frac2n = frac23.)

c) ( mlimsqrt 4n^2 + 5n + 3 - 2n = lim frac(sqrt 4n^2 + 5n + 3 - 2n)(sqrt 4n^2 + 5n + 3 + 2n)sqrt 4n^2 + 5n + 3 + 2n)

( = lim frac3n + 3sqrt 4n^2 + 5n + 3 + 2n = frac34)

Ví dụ 4:

Tính những giới hạn:

a) (mathop lim limits_x o 1 fracx^3 - 2x^2 + 3x - 2x^2 - 3x + 2.)

b) (mathop lim limits_x o 1 fracsqrt 3x + 1 - 2x - 1 m m.)

c) (mathop lim limits_x o 1 fracsqrt<3>2x - 1 - 1x - 1.)

d) (mathop lim limits_x o + infty (sqrt x^2 + 2x + 3 - x))

Hướng dẫn giải:

a) (mathop lim limits_x o - 1 fracx^2 - x - 2x + 1 = mathop lim limits_x o - 1 frac(x + 1)(x - 2)x + 1 = mathop lim limits_x o - 1 (x - 2) = - 3)

b) (mathop lim limits_x o 1 fracsqrt 3x + 1 - 2x - 1 = mathop lim limits_x o 1 frac(sqrt 3x + 1 - 2)(sqrt 3x + 1 + 2)(x - 1)(sqrt 3x + 1 + 2))( = mathop lim limits_x o 1 frac3(x - 1)(x - 1)(sqrt 3x + 1 + 2) = mathop lim limits_x o 1 frac3(sqrt 3x + 1 + 2) = frac34)

c) (mathop lim limits_x o 1 fracsqrt<3>2x - 1 - 1x - 1 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( fracsqrt<3>2x - 1 - 1x - 1 ight)left( sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>2x - 1 + 1 ight)(x - 1)(sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>(2x - 1)^2 + 1))

( = mathop lim limits_x o 1 frac2(x - 1)(x - 1)(sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>(2x - 1)^2 + 1) = mathop lim limits_x o 1 frac2sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>(2x - 1)^2 + 1 = frac23.)

d) (mathop lim limits_x o + infty (sqrt x^2 + 2x + 3 - x) = mathop lim limits_x o + infty frac(sqrt x^2 + 2x + 3 - x)(sqrt x^2 + 2x + 3 + x)(sqrt x^2 + 2x + 3 + x))

( = mathop lim limits_x o + infty frac2x + 3(sqrt x^2 + 2x + 3 + x) = mathop lim limits_x o + infty frac2 + frac3x(sqrt 1 + frac2x + frac3x^2 + 1) = 1.)

Ví dụ 5:

Cho hàm số: (fleft( x ight) = left{ eginarraylfracx^2 - 1x - 1 m left( mx e m1 ight)\ ma left( mx = 1 ight)endarray ight.) a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 1.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với các x thuộc R.

Ta gồm f(1) = a.

(mathop lim limits_x o 1 fracx^2 - 1x - 1 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight)x - 1 = mathop lim limits_x o 1 left( x + 1 ight) = 2)

Nếu a=2 thì hàm số liên tiếp tại x0 = 1.

Nếu a( e )2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.

Ví dụ 6:

Cho hàm số: (fleft( x ight) = left{ eginarraylx^2 + 1 m left( mx > m0 ight)\ mx left( mx le m0 ight)endarray ight.). Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với những x nằm trong R.

Ta tất cả f(0) = 0

(eginarraylmathop lim limits_x o 0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o 0^ - x = 0\mathop lim limits_x o 0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o 0^ + left( x^2 + 1 ight) = 1 m e m 0 = mathop lim limits_x o 0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o 0^ - xendarray).

Vậy hàm số không tiếp tục tại x0 = 0.

Ví dụ 7:

Cho hàm số: (fleft( x ight) = left{ eginarraylax + 2 m left( mx ge m1 ight)\ mx^ m2 m + x - 1 left( { mx lí giải giải:

x >1 ta gồm f(x) = ax +2 hàm số liên tục.

x 2+x-1 hàm số liên tục.

Khi x = 1:

Ta tất cả f(1) = a+2

(eginarraylmathop lim limits_x o 1^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o 1^ + left( ax + 2 ight) = a + 2\mathop lim limits_x o 1^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o 1^ - left( x^2 + x - 1 ight) = 1endarray).

Hàm số liên tiếp tại x0 = 1 trường hợp a = -1.

Hàm số cách trở tại x0 = 1 nếu như a ( e ) -1.

Xem thêm: Bài 4: Quyền Bình Đẳng Của Công Dân Trong Một Số Lĩnh Vực Của Đời Sống Xã Hội

Vậy hàm số thường xuyên trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số thường xuyên trên (left( - infty ;1 ight) cup left( 1; + infty ight)) trường hợp a ( e ) -1.