Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Với Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của e 2x

*

A. Phương pháp giải

1. Định lí

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v"(x)dx = u(x)v(x) - ∫u"(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.

2. Cách đặt

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx

*

* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính ∫x.lnx dx.

*

Lời giải

*

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính ∫(x - 1)exdx.

A. (x - 1)ex + ex + C.

B. xex - ex + C.

C. xex + C.

D. (x - 2)ex + C.

Lời giải

*

Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số:

*

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 4. Tìm I = ∫(3x2 - x + 1)exdx.

A. I = (3x2 - 7x + 8)ex + C.

B. I = (3x2 - 7x)ex + C.

C. I = (3x2 - 7x + 8) + ex + C.

D. I = (3x2 - 7x + 3)ex + C.

Lời giải

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u = 3x2 - x + 1 và dv = exdx

⇒ du = (6x - 1)dx và v = ex. Do đó:

I = ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx

Đặt u1 = 6x - 1 và dv1 = exdx ta có du1 = 6dx và v1 = ex. Do đó:

∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C.

Từ đó suy ra:

I = ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C.

Chọn A.

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số

*
bằng:

*

Lời giải

Ta có:

*

Chọn C.

Ví dụ 6. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số:

*

Biết F(1) = 0. Vậy F(x) bằng:

*

Lời giải

Ta có:

*

Chọn B.

Ví dụ 7. Hàm số f(x) = x.ex có các nguyên hàm là:

*

Lời giải

Ta có: ∫x.exdx = ∫xd(ex) = x.ex - ∫exdx = x.ex - ex + C.

Chọn D.

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x2(3.lnx + 1).

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 9. Họ nguyên hàm của hàm số

*
qua phép đặt t = √x là:

A. F(t) = 2tln2t - 4t + C.

B. F(t) = 2tln2t + 4t + C.

C. 2tlnt2 + 4t + C.

D. 2tlnt2 - 4t + C.

Lời giải

*

Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì 2tlnt2 - 4t + C = 4tlnt - 4t + C.

Chọn D.

Ví dụ 10. Họ nguyên hàm của hàm số

*
là:

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ∫(1 - 2x)exdx

A. ex(2 - 3x) + C.

B. ex(3 - 3x) + C.

C. ex(3 - 2x) + C.

D. ex(2 + 3x) + C.

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫√x.lnx dx

*

Lời giải

*

Chọn D.

Ví dụ 13. Cho F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f"(x)e2x.

A. ∫f"(x)e2xdx = -x2 + 2x + C.

B. ∫f"(x)e2xdx = -x2 + x + C.

C. ∫f"(x)e2xdx = 2x2 - 2x + C.

D. ∫f"(x)e2xdx = -2x2 + 2x + C.

Lời giải

Từ giả thiết ⇒ F"(x) = f(x).e2x ⇔ (x2)" = f(x).e2x ⇔ 2x = f(x).e2x (1)

Đặt A = ∫f"(x).e2xdx.

Đặt u = e2x ⇒ du = 2.e2xdx, dv = f’(x)dx. Chọn v = f(x)

⇒ A = e2x.f(x) - 2∫f(x).e2xdx = 2x - 2F(x) + C = -2x2 + 2x + C.

Chọn D.

Ví dụ 14. Cho F(x) = (x - 1).ex là một nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f"(x).e2x.

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 15. Cho

*
là một nguyên hàm của hàm số
*
. Tìm nguyên hàm của hàm số f"(x)lnx.

*

Lời giải

*

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫(2x + 3)e-xdx

A. -e-x(2x - 1) + C.

B. -e-x(2x + 1) + C.

C. -e-x(2x + 5) + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải:

*

Chọn C.

Câu 2: Tính ∫x.2xdx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 3: Tính ∫lnxdx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn D.

Câu 4: Tính ∫2xln(x - 1)dx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn C.

Câu 5: Nguyên hàm I = ∫xln(x + 1)dx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 6: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + ln(x + 1). Biết F(0) = 1, vậy F(x) bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x2 - 1)ex

*

Lời giải:

*

Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng:

∫f(x).exdx = f(x).ex - f"(x).ex + f""(x).ex - ... + f(k).ex + C.

∫(x2 - 1)exdx = (x2 - 1)ex - 2xex + 2ex + C = (x2 - 2x + 1).ex + C.

Chọn A.

Câu 8: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = (3x2 + 1)lnx

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 9: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = √x.lnx

*

Lời giải:

*

Chọn C.

Xem thêm: DàN Ý CảM NhậN Về Nhân VậT Ngô Tử Văn Hay Nhất, Dàn Ý Cảm Nhận Về Nhân Vật Ngô Tử Văn

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫x.lnxdx

*

Lời giải:

*

Chọn B.

Câu 11: Hàm số y = f(x) có đạo hàm f"(x) = x3.ex2 và f(0) = 0. Chọn kết quả đúng: