Lời tựa: Đ?#8220;ng dư là một công cụ quan trọng trong số học. Đ?#8220;ng dư được xây dựng bởi nhà tóan học nhân kiệt Gass. Tuy vậy thì so với các em trung học cơ sở đ?#8220;ng dư là phân học tập khá khó khăn hiểu và trìu tượng. Qua nhiều cuộc chat chit với những em lớp 8,9 đ?#8220;ng thời thỏa mãn nhu cầu nhu ước thi trường chuyên lớp chọn của cá em, mình ra quyết định lập ra topic này nhằm mọi người vào hiệp thương về đ?#8220;ng dư và lí thuyết đ?#8220;ng dư, mình hi vọng rằng mọi vướng mắc về đ?#8220;ng dư sẽ đc giải quyết ở đây và topic này sẽ có lợi nhiều cho các em trong bài toán học tập và nghiên cứu toán họcDự định của chính mình là đang post 4 bài bác giảng lớn của những thầy nhưng mà mình đc học (có chọn lọc) và một số bài tập. Mong mỏi mọi ngưởi mang lại ý kiếnLưu ý trong topic này ta chỉ xét những số bên trên tập Z vì vậy trường hợp hok nói tiêu tốn thêm thì những số đó là số nguyên--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BÀI 1: ĐỒNG DƯ THỨC1.1 Định nghĩa : mang đến số nguyên m>1 và các số nguyên a,b. Nếu khi chia a, b mang đến m ta đc cùng một số dư thì ta nói a đồng dư cùng với b theo modulo m$=> a \equiv b \Leftrightarrow a=mp+r; b=mq+r ( rkhi đó ta kí hiệu $a \equiv b \pmodm$1.2 Định lí: những mệnh đề sau là tương đươngi, $ a \equiv b$ii, $m|(a-b)$iii, $\exists t \in \mathbbZ : a=b +mt$ cha mệnh đề bên trên ta dễ ợt cm đc bằng định nghĩa.1.3 Tính Chất. Hệ quả1. Bội phản xạ: $a \equiv a \pmodm$ đối xứng: $a \equiv b \pmodm \Rightarrow b \equiv a \pmodm$ bắc cầu: $a \equiv b(modm); b \equiv c (modm) => a \equiv c (modm)$2. Ta hoàn toàn có thể cộng (trừ) từng vế nhiều đ?#8220;ng dư thức của cùng một modulo m cùng với nhau: $a_k \equiv b_k (modm) k=1,2,..,n; \varepsilon_k \in 1, -1 => \sum\limits_k=1^n \varepsilon_k a_k \equiv \sum\limits_k=1^n \varepsilon_k b_k (modm)$3. Có thể nhân từng vế đông dư thức của và một modulo m : $a_k \equiv b_k (modm) k=1,2,..,n => \prod\limits_k=1^na_k \equiv \prod\limits_k=1^n b_k (modm)$*hệ quả:a, $a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \pm c \equiv b \pm c (modm)$$b, a \equiv b+c (modm) \Leftrightarrow a-b \equiv c (modm)$$c, a \equiv b (modm) => ac \equiv bc (modm)$điều trái lại chỉ đúng vào lúc (m,c)=1d, $a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \equiv b+mp (modm)$ $e, a \equiv b(modm) => a^n \equiv b^n (modm)$4. Nếu như d\a, d\b (d,m)=1 lúc ấy $a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \dfracad \equiv \dfracbd (modm)$5. Trường hợp d\ (a,b,m) lúc ấy $a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \dfracad \equiv \dfracbd (mod \dfracmd)$6. $a \equiv b( gian lận m_k ) k=1,2,..,n => a \equiv b(mod
#2inhtoan
inhtoan
Thành viên964 bài xích viếtGiới tính:NamĐến từ:HN city
BT cơ phiên bản :1)CM:$ 12^2n + 1 + 11^n + 2 \vdots 133 $2)CM:$ 2.31^n + 1 \vdots 3 $3)CM:$ 3^2010 + 5^2013 \vdots 13 $4)Cho:$ x,y,z \in Z $,$ x^2 + y^2 = z^2 $.CM:$ xy \vdots 6 $5)Có $ \exists n \in Z^ + $ hay là không để $ 2008^n^2 + 2n + 1 + 2008 \vdots 223 $6)Tìm dư:$ \rma\rm. 23^\rm34 ^^\rm19 \rm:17 b\rm. 46^\rm2345 \rm : 37 c\rm. 239^237^54 \rm :135 d\rm. 2^\rm1000000 \rm : 3^10 $7)n là số nguyên dương lẻ .CM:$ A = 46^n + 296.13^n \vdots 1947 $ (Hungari-1947)
#3hung0503
hung0503
benjamin wilson
Thành viên492 bài bác viếtGiới tính:NamĐến từ:LAcó bài này e ko hiểu anh chị em giúp đỡ, em cảm ơnđề:cm trường hợp m là số nguyên dương thì bất kì số nguyên a nào thì cũng đồng dư với một với chỉ một số của dãy số 0,1,2,....,m-1 theo thủ thuật mbài giải: ta có $a=mq+r ;0 \leq rcần centimet hai số dư đều bằng nhau trong phép phân tách cho mgiả sử $ 0 \leq r_1 và $ r_1 \equiv r_2(mod m)* \Rightarrow r_1- r_2=pm $Ta tất cả $ 0 \leq r_1$ \Rightarrow -mcho em hỏi loại * này là chỗ nào ra ạ và sao bản thân lại suy ra được chiếc **
What if the rain keeps falling?What if the sky stays gray?What if the wind keeps squalling,And never go away?I still ........
Bạn đang xem: Lý thuyết đồng dư
#4hongthaidhv
hongthaidhv
GS-TSKHVMF. Lê Hồng Thái
Thành viên 442 bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Special high school for Gifted pupil of Vinh UniSở thích:Math: Inequality, function equation & football (MU is mylife)có bài xích này e ko hiểu cả nhà giúp đỡ, em cảm ơnđề:cm giả dụ m là số nguyên dương thì bất kể số nguyên a nào thì cũng đ?#8220;ng dư với một và chỉ một vài của hàng số 0,1,2,....,m-1 theo gian lận mBài này dễ cơ mà em ( đặc thù cơ bản). Giả sử $a \equiv p ( modm)$ với $a \equiv r ( modm) ( 0 \leq p\ , r => phường \equiv r (modm) =>( p-r) \vdots m$, giả sử $p>r => (p-r ) \geq m$ ( đặc điểm cơ bản) ( vô lí bởi vì $p, r p=r$ ( đpcm)
#5hung0503
hung0503
benjamin wilson
Thành viên492 bài bác viếtGiới tính:NamĐến từ:LAanh hiểu sai ý em rồi..........ý em là em ko hiểu một số chỗ trong cách cm trên........anh giúp em với....em cảm ơn
What if the rain keeps falling?What if the sky stays gray?What if the wind keeps squalling,And never go away?I still ........
#6hung0503
hung0503
benjamin wilson
Thành viên492 bài viếtGiới tính:NamĐến từ:LAko biết em post vào đây đúng ko vày nó thuộc về chia hết......ta có đặc thù : nếu a và b là 2 số nguyên, b dương thì ta được a=bq+r trong số ấy $ 0 \leq rvậy nguyên nhân trong bài xích cm $ a^3-3$ ko phân tách hết đến 7 thì ta lại biểu diễn a=7k+r cùng với r thuộc 0,1,-1,-2,2,3,-3sao dịp thì để là $ 0 \leq rxin anh chị giúp đỡ em còn các thiếu sót, em xin cảm ơn
What if the rain keeps falling?What if the sky stays gray?What if the wind keeps squalling,And never go away?I still ........
#7inhtoan
inhtoan
Thành viên964 bài bác viếtGiới tính:NamĐến từ:HN city
vậy vì sao trong bài cm $ a^3-3$ ko chia hết mang lại 7 thì ta lại màn biểu diễn a=7k+r với r ở trong 0,1,-1,-2,2,3,-3sao lúc thì để là $ 0 \leq ra=7k+r(r=0,1,-1,-2,2,3,-3) không xích míc với điều kiện $ 0 \leq rNếu ta biểu diễn a=7k+6 cùng a=7k-1 vậy lúc $ a^3 $ thì cách biểu diễn nào dễ minh chứng bài toán hơn...
Xem thêm: Đề Ôn Thi Tuyển Sinh Lớp 10 Môn Toán 2018 Của 63 Tỉnh Thành Phố
#8hongthaidhv
hongthaidhv
GS-TSKHVMF. Lê Hồng Thái
Thành viên442 bài bác viếtGiới tính:NamĐến từ:Special high school for Gifted pupil of Vinh UniSở thích:Math: Inequality, function equation & football (MU is mylife)ko biết em post vào đó đúng ko vì nó nằm trong về phân chia hết......ta có đặc điểm : ví như a cùng b là 2 số nguyên, b dương thì ta được a=bq+r trong các số đó $ 0 \leq rvậy tại sao trong bài cm $ a^3-3$ ko phân chia hết cho 7 thì ta lại màn biểu diễn a=7k+r cùng với r trực thuộc 0,1,-1,-2,2,3,-3sao thời gian thì để là $ 0 \leq rxin các bạn giúp đỡ em còn những thiếu sót, em xin cảm ơn
Hi, trên đây là thắc mắc hay. Bài toán này ta hoàn toàn có thể giả sử $a=7k+r$ cùng với $r \in \ 0;1;2;3;4;5;6\ $ nó không ảnh hưởng chi đến phương pháp cm cả. Nhưng tại đây khi ta đặt nó là $\pm1; \pm2; \pm 3$ thì khi ta lập phương lên nó sẽ gọn hơn thui , nếu em hok phù hợp thì rất có thể đặt lại#9hongthaidhv
hongthaidhv
GS-TSKHVMF. Lê Hồng Thái
Thành viên442 bài bác viếtGiới tính:NamĐến từ:Special high school for Gifted pupil of Vinh UniSở thích:Math: Inequality, function equation & football (MU is mylife)có bài xích này e ko hiểu anh chị giúp đỡ, em cảm ơnđề:cm trường hợp m là số nguyên dương thì bất cứ số nguyên a nào thì cũng đồng dư cùng với một với chỉ một vài của dãy số 0,1,2,....,m-1 theo thủ thuật mbài giải: ta bao gồm $a=mq+r ;0 \leq rcần cm hai số dư đều nhau trong phép phân tách cho mgiả sử $ 0 \leq r_1 và $ r_1 \equiv r_2(mod m)* \Rightarrow r_1- r_2=pm $Ta gồm $ 0 \leq r_1$ \Rightarrow -mcho em hỏi chiếc * này là ở đâu ra ạ cùng sao bản thân lại suy ra được loại **
à anh gọi ý em rùi, chiếc * này là ta đưa sử khi phân tách a đến q ta được hai số dư là $r_1$ với $r_2$ . Còn tự * => ** là mang sử $r_1-r_2 \neq 0$, ta luôn luôn giả sử đc $r_1 >r_2$ lúc đó ta bao gồm $m>r_1 -r_2 >0$, lại do $r_1 -r_2$ phân chia hết cho $m>0 => r_1 -r_2 >m$ ( mâu thuẫn) $=> r_1-r_2 =0$#10No Problem
No Problem
Hạ sĩ
Thành viên67 bài bác viếtGiới tính:NamBT cơ bản :1)CM:$ 12^2n + 1 + 11^n + 2 \vdots 133 $2)CM:$ 2.31^n + 1 \vdots 3 $3)CM:$ 3^2010 + 5^2013 \vdots 13 $
Chà nhiều bài xích thế này sao hok ai làm, thui nhằm em gà làm mấy bài dễ trước vậy
#11No Problem
No Problem
Hạ sĩ
Thành viên67 bài viếtGiới tính:NamBT cơ bạn dạng :5)Có $ \exists n \in Z^ + $ hay là không để $ 2008^n^2 + 2n + 1 + 2008 \vdots 223 $
Ta có$2008\equiv \ 1(mod223)$$ 2008^n^2 + 2n + 1 + 2008 \equiv \ 2 (mod223)$#12No Problem
No Problem
Hạ sĩ
Thành viên67 bài viếtGiới tính:NamBT cơ bản :7)n là số nguyên dương lẻ .CM:$ A = 46^n + 296.13^n \vdots 1947 $ (Hungari-1947)
$ A = 46^2k+1 + 296.13^2k+1 \equiv \ 13^2k+13^2k+1.296\equiv \ 13^2k(46+293.13)\equiv \ 0 (mod 1947) $#13Zaraki
Zaraki
PQT
Phó quản ngại trị
4)Cho:$ x,y,z \in Z $,$ x^2 + y^2 = z^2 $.CM:$ xy \vdots 6 $
Áp dụng tính chất_ $a^2 \equiv 0,1 \pmod3$._ $a^2 \equiv 0,1 \pmod4$.