Tìm giá chỉ tị lớn số 1 (GTLN) với giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức đựng dấu căn, biểu thức đựng dấu cực hiếm tuyệt đối,...) là trong những dạng toán lớp 9 có khá nhiều bài kha khá khó và yên cầu kiến thức vận dụng linh hoạt trong những bài toán.

Bạn đang xem: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một vài cách tìm giá bán trị lớn nhất (GTLN, Max) cùng giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số cất dấu căn, đựng dấu quý hiếm tuyệt đối,...) qua một vài bài tập minh họa thế thể.

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé dại nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 biến đổi số)

- mong mỏi tìm giá chỉ trị lớn nhất hay giá bán trị bé dại nhất của một biểu thức ta gồm thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* lấy ví dụ như 1: mang đến biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Search GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4

- bởi vì (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bởi xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: Amin = -4 khi còn chỉ khi x = -1.

* lấy ví dụ như 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Kiếm tìm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2

- bởi (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4

 ⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ còn khi x = 3.

* ví dụ 3: Cho biểu thức: 

*

- search x nhằm Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá bán trị nhỏ dại nhất.

- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 đề xuất (x + 1)2 + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

*

 

*

*

° Cách tìm giá bán trị to nhất, giá bán trị bé dại nhất của biểu thức đựng dấu căn:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 đổi thay số)

- cũng tương tự như phương pháp tìm ở phương pháp trên, vận dụng đặc điểm của biểu thức ko âm như:

 

*
 hoặc 
*

- dấu "=" xảy ra khi A = 0.

* ví dụ như 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta thấy: 

*
 

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3

 nên 

*
 dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* lấy một ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5

 nên 

*
 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 

*

* lấy ví dụ như 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có:

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 nên giá bán trị nhỏ nhất của B là 
*
 đạt được khi:

 

*

* lấy một ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá chỉ trị lớn nhất thì 

*
 đạt giá trị nhỏ tuổi nhất

- Ta có: 

*

 

*

 Lại có: 

*
*

 Dấu"=" xẩy ra khi 

*

*

*

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức cất dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- vấn đề này cũng nhà yếu nhờ vào tính không âm của trị hay đối.

* ví dụ 1: tra cứu GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* ví dụ như 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, những bài toán trên dựa vào các thay đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức ko âm (bình phương, trị tuyệt đối,...) cùng hằng số nhằm tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều vấn đề phải áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) mang đến hai số a, b ko âm: 

*
 (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
*
 (dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); 
*
, (dấu "=" xảy ra khi còn chỉ khi a.b≤ 0).

Xem thêm: Giải Bài Tập Sgk Khoa Học 5 Bài 57: Sự Sinh Sản Của Ếch, Sự Sinh Sản Của Ếch Khoa Học Lớp 5

* lấy ví dụ như 1: Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- bởi a,b>0 nên 

*

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và mức độ vừa phải nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).