\(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
Bạn đang xem: Giá trị lớn nhất của hàm số
m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu:
\(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).
a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số\(y=f(x)\)xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạnĐịnh lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\)liên tục trên một đoạn\(
Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\)(i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f"(x_i)=0\)hoặc\(f"(x_i)\)không xác định.
Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\)(i = 1, 2, . . . , n).
Khi đó : \(\mathop {\max }\limits_{\left< {a;b} \right>} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\)
\(\mathop {\min }\limits_{\left< {a;b} \right>} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\)
3. Bài toán Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số\(y=x^3-3x^2-9x+5\).
b) Hàm số\(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3>.\)
Lời giải:a) Hàm số\(y=x^3-3x^2-9x+5\).
TXĐ:\(D=\mathbb{R}.\)
\(y"=3x^2-6x-9.\)
\(y" = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
b)Xét hàm số\(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\)xác định trên\((1;3>.\)
\(y"=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)
\(y" = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 5 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right>\\ x = 1 - \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right> \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất\(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3>} y = 9\), hàm số không có giá trị lớn nhất.
4. Bài toán Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
Tìm GTLN - GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số\(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\)trên đoạn\(\left< { - 1;0} \right>\).
b) Hàm số\(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)trên đoạn\(\left< { - \frac{1}{2};1} \right>\).
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
Lời giải:a) Hàm số\(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\)xác định trên đoạn\(\left< { - 1;0} \right>\).
Xem thêm: Phân Cấp Công Trình Cấp 1 /Tt, Quy Định Công Trình Cấp 1 2 3 4
\({f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2\)
\({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0\)
Ta có:\(f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).
Vậy:\(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left< { - 1;0} \right>} = \frac{{11}}{3}\);\(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left< { - 1;0} \right>} = 1\)
b)Hàm số\(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)xác định trên đoạn\(\left< { - \frac{1}{2};1} \right>\)