Tổng hợp lý thuyết đầy đủ nhất những gì tương quan tới đường tròn dành riêng cho học sinh lớp 9, ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Bạn đang xem: Đường tròn lớp 9

Nếu muốn giải được những dạng toán đường tròn lớp 9 thì bắt buộc các em phải nắm vững những lý thuyết đường tròn dưới đây.

I. Sự xác định của đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn

1. Đường tròn

– Định nghĩa: Đường tròn chổ chính giữa nửa đường kính (

*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="46" style="vertical-align: -2px;">) là hình gồm những điểm bí quyết điểm một khoảng bí quyết bằng .

2. Vị trí tương đối của một điểm với một đường tròn

– mang lại đường tròn trọng tâm cùng điểm M.

+ nằm trên đường tròn ⇔

*

+ nằm vào đường tròn ⇔

*
3. Biện pháp xác định đường tròn

– Qua ba điểmkhông thẳng hàngta vẽ được một cùng chỉ một đường tròn.

4.Tính chất đối xứng của đường tròn

– Đường tròn là hình gồm tâm đối xứng. Chổ chính giữa của đường tròn là trung khu đối xứng của của đường tròn đó.

– Đường tròn là hình bao gồm trục đối xứng, trục bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

II. Dây của đường tròn

1. So sánh độ nhiều năm của đường kính và dây

– trong số dây của đường tròn dây lớn nhất là đường kính

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính với dây

– trong một đường tròn, đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

– vào một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thìvuông gócvớidây ấy.

3. Liên hệ giữa dây cùng khoảng phương pháp từ trọng tâm đến dây

– trong một đường tròn:

+ 2 dây bằng nhau thì phương pháp đều tâm

+ 2 dây cách đều trung tâm thì bằng nhau

– vào 2 dây của 1 đường tròn

+ Dây làm sao lớn hơn thì dây đó gần chổ chính giữa hơn

+ Dây làm sao nhỏ hơn thì dây đó xa trung tâm hơn

III. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

Cho đường tròn trung ương

*
với đường thẳng
*
, đặt
*
lúc đó:

– Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt⇔

*

Khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm tầm thường giữa đường thẳng và đường tròn gọi là tiếp điểm.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

– Nếu 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì nó vuông góc với nửa đường kính đi qua tiếp điểm

– Nếu1 đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn cùng vuông góc với nửa đường kính đi qua điểm đó thì đường thắng ẩy là tiếp tuyến của đường tròn.

3. Tính chất của nhị tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

– Điếm đó biện pháp đều nhị tiếp điểm.

– Tia kẻ từ điểm đó đi qua trung tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

– Tia kẻtừ chổ chính giữa đi qua điểm đólà tia phân giác của góc tạo bởi hai nửa đường kính (đi qua các tiếp điểm)

4. Đường tròn nội tiếp tam giác

– Đường tròn tiếp xúc với tía cạnh của một tam giác được gọi làđường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

– trung tâm của đường tròn nội tiếp tam giác được gọi làgiao điểm của các đường phân giác những góc trong tam giác.

5. Đườngtròn bàng tiếp tam giác

– Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác cùng tiếp xúc với những phần kéo dãn của nhị cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

– Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

– tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc bên cạnh tại B với C,hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A với đường phân giác ngoại trừ tại B (hoặc C).

IV. Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Tính chất đường nối tâm

– Đường nối chổ chính giữa của nhì đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả nhì đường tròn đó.

– Nếu hai đường tròn cắt nhau thì nhì giao điếm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

– Nếuhai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

2. Vị trí tương đối của nhị đường tròn

Cho 2 đường tròn và đặt

*

– nhị đường tròn cắt nhau tại 2 điểm⇔

*

+ chứa ⇔

*
– Tiếp tuyến chung của nhì đường trònlà đường thẳng tiếp xúc với cả nhị đường tròn đó.

– Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

– Tiếp tuyến thông thường trong làtiếp tuyến thông thường cắt đoạn nối tâm.

V. Liên hệ giữa cung với dây cung

1. Định lí 1

+ Với nhì cung nhỏ trong một đường tròn tốt trong hai đường tròn bằng nhau:

– nhì cung bằng nhau căng nhì dây bằng nhau.

– nhị dây bằng nhau căng nhì cung bằng nhau.

2. Định lí 2

+ Với nhị cung nhỏ trong một đường tròn giỏi trong nhì đường tròn bằng nhau:

– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

– Dây lớn hơn căng cunglớn hơn.

3. Bổ sung

+ vào một đường tròn, nhì cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

+ vào một đường tròn, đường kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+ trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điếm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

+ vào một đường tròn, đường kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy cùng ngược lại.

VI. Góc nội tiếp đường tròn

1. Định nghĩa:Góc nội tiếplàgóc bao gồm đỉnh nằm trên đường trònvàhai cạnh chứa nhì dây cung của đường tròn ấy.

– Cung nằm bên trong góc được gọilàcung bị chắn.

2. Định lí:Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếpbằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

+ trong một đường tròn:

– các góc nội tiếp bằng nhau chắn những cung bằng nhau.

– những góc nội tiếp thuộc chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

– Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâmcùng chắn một cung.

– Góc nội tiếp chắn nửa đường trònlà góc vuông.

VI. Góc tạo bởi tiếp tuyến cùng dây cung

1. Định lí:Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến với dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

2. Hệ quả:Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

3. Định lí (bổ sung)

– Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm bên trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), cósố đobằng nửa số đo của cung AB căng dây đóvà cung này nằm phía bên trong góc đóthì cạnh Axlàmột tia tiếp tuyến của đường tròn.

VIII. Góc ở đỉnh bên trong, với góc ở đỉnh phía bên ngoài đường tròn

Định lí 1:Số đocủa góc có đỉnh ở bên phía trong đường tròn bằng nửa tổng so đo hai cung bị chắn.

Định lí 2:Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu so đo nhì cung bị chắn.

IX. Cung chứa góc

1. Quỹ tích cung chứa góc

– Với đoạn thẳng AB cùng gócα (002. Cách vẽcung chứa góc α

– Vẽ đường trung trực d của đoạn thắng AB.

– Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α

– Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. GọiO là giao điểmcủa Ay với d.

– Vẽ cung AmB, tâmO, nửa đường kính OA thế nào cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB ko chứa tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một cung chứa gócα.

3. Phương pháp giải việc quỹ tích

– Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) những điếm M thỏa kinh niên chấtTlàmột hình H nào đó, ta phải chứng minh nhị phần:

+ Phần thuận: Mọi điếm bao gồm tính chất T đều thuộc hình H.

+ Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều gồm tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích các điếm Mcó tính chấtT là hình H.

X. Tứ giác nội tiếp

1. Định nghĩa

Một tứ giác tất cả bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2. Định lí

– vào một tứ giác nội tiếp, tổng số đo 2 góc đối diện bằng

– Nếu một tứ giác gồm tổng số đo 2 góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

– Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.

– Tứ giác có tổng số đo 2 góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

– Tứ giác ABCD gồm 2 đỉnh C cùng D sao để cho

*
thì tứ giác ABCD nội tiếp được.

XI. Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

1. Định nghĩa

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đườngtròn ngoại tiếp đa giác cùng đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.

Đường tròn tiếp xúc với tất cảcác cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi làđa giác ngoại tiếp đường tròn.

2. Địnhlí

– Bất kì đa giác đều như thế nào cũng bao gồm một với chỉ một đường tròn ngoại tiếp, bao gồm một với chỉ một đường tròn nội tiếp.

– trọng tâm của nhị đường tròn này trùng nhau cùng được gọi làtâm của đa giác đều.

– trung tâm này là giao điểm nhị đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của nhì góc.

* Chú ý:

– bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng bí quyết từ trung tâm đến đỉnh.

Xem thêm: Lời Bài Hát Hoa Nở Không Màu Lời Bài Hát Hoa Nở Không Màu Trình Bày Bởi Hoài Lâm

– bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâmO đến 1 cạnh.

– mang lại n_ giác (đa giác có n cạnh) đều cạnh a. Lúc đó:

+ Chu vi của đa giác:

*
(
*
là nửa chu vi)

+ Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng:

*

+ Mỗi góc ở tâm của đa giác gồm số đo bằng:

*

+ bán kính đường tròn ngoại tiếp

*
*

+ bán kính đường tròn nội tiếp

*
*

+ Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:

*

+ Diện tích đa giác đều:

*

XII. Độ dài đường tròn, cung tròn

1. Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

– Độ nhiều năm C của một đường tròn bán kính R được tính theo công thức

*
hoặc
*

2. Công thức tính độ dài cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, độ nhiều năm l của một cung no được tính theo công thức:

*

XIII. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

1. Công thức tính diện tích hình tròn

– Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức:

*

2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn

– Diện tích hình quạt tròn nửa đường kính R cung no được tính theo công thức

*
xuất xắc
*
(
*
là độ nhiều năm cung nocủa hình quạt tròn)