Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

4. Một vài ví dụ:

1. Khẳng định cận rước tích phân theo 2 phương Ox với Oy của:

*

Giải:

Ta gồm miền D giới hạn bởi các đường:

*
Tọa độ giao điểm của 2 đướng
*
với
*
là A(2;-2) và C (8;4) với miền D được khẳng định như hình bên.

Bạn đang xem: Đổi thứ tự lấy tích phân

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D có cùng 1 mặt đường vào là

*
và cùng 1 đưởng ra là x = y + 4.

Do đó:

*

Vậy

*

=

*

=

*

Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 mặt đường vào là y = x – 4 cùng

*
và gồm chung 1 mặt đường ra là
*
. Vị đó, ta chia miền D thành 2 miền D1, D2 vày đoạn AB đặt lên trên mỗi miền tất cả chung 1 đường vào với 1 đường ra.

Xem thêm: Ý Kiến Về Vụ Du Học Sinh Việt Nam Chà Đạp Cờ Vàng 3 Sọc Đỏ Trên Đường Phố Úc

Do đó, theo phương Oy ta có:

*

*

Vậy ta có:

*

Tính toán tương tự như trên, ta gồm kết quả.

Nhận xét:

1. Tự tích phân bên trên miền D1, ta phân biệt cận của tích phân theo trở thành y bao gồm tính đối xứng, hay phụ thuộc vào ồ thị ta có miền D là miền đối xứng qua Ox. Vì đó, trường hợp hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bằng 0; còn trường hợp f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân sẽ bằng gấp đôi tích phân trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).

Từ đó, trường hợp miền D đối xứng qua Ox cùng f(x;y) = f(x;-y) thì:

*

(với D1 là phần của D ứng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox với f(x;y) = -f(x;-y) thì:

*

2. Tương tự, trường hợp miền D đối xứng qua Oy cùng f(x;y) = f(-x;y) thì:

*

(với D’ là phần của D ứng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:

*

3. Giả dụ miền D là miền đối xứng qua Ox với Oy với f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

*

(với D* là phần của D phía trong góc phần bốn thứ nhất)

(Các hiệu quả trên coi như bài bác tập, những em tự triệu chứng minh)

4. Mang sử

*
*
thì:

*

(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích phân đơn. Những em tự triệu chứng minh)