Cho phương trình bậc nhị $ax^2 + bx + c = 0,(a e 0).$ giả dụ (x_1,x_2) là nhì nghiệm của phương trình thì (left{ eginarraylx_1 + x_2 = dfrac - ba\x_1 cdot x_2 = dfraccaendarray ight..)
Ví dụ: Phương trình (2x^2-5x+2=0) gồm ( Delta=9>0) cần phương trình tất cả hai nghiệm (x_1;x_2).
Bạn đang xem: Định lý viet lớp 9
Theo hệ thức Vi-ét ta có: (left{ eginarraylx_1 + x_2 = dfrac 52\x_1 cdot x_2 = dfrac22=1endarray ight..)
Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
+) Xét phương trình bậc hai: $ax^2 + bx + c = 0,(a e 0).$
Nếu phương trình bao gồm (a + b + c = 0) thì phương trình bao gồm một nghiệm là (x_1 = 1,) nghiệm kia là (x_2 = dfracca.)
Nếu phương trình có (a - b + c = 0) thì phương trình gồm một nghiệm là (x_1 = - 1,) nghiệm cơ là (x_2 = - dfracca.)
+) Tìm nhì số biết tổng với tích của chúng : nếu hai số gồm tổng bởi $S$ cùng tích bởi $P$ thì nhị số chính là hai nghiệm của phương trình $X^2 - SX + phường = 0$ (ĐK: $S^2 ge 4P$)
Ví dụ:
+ Phương trình (2x^2-9x+7=0) tất cả (a+b+c=2+(-9)+7=0) nên gồm hai nghiệm (x_1=1;x_2=dfracca=dfrac72)
+ Phương trình (2x^2+9x+7=0) bao gồm (a-b+c=2-9+7=0) nên có hai nghiệm (x_1=-1;x_2=-dfracca=-dfrac72)
2. Những dạng toán thường gặp
Dạng 1: ko giải phương trình, tính cực hiếm biểu thức liên quan giữa những nghiệm.
Phương pháp:
Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình gồm nghiệm : $left{ eginarrayla e 0\Delta ge 0endarray ight.$. Từ bỏ đó vận dụng hệ thức Vi-ét ta có : $S = x_1 + x_2 = - dfracba$ và $P = x_1x_2 = dfracca$.
Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa những nghiệm của đề bài bác theo tổng $x_1 + x_2$ cùng tích $x_1x_2$, sau đó áp dụng cách 1.
Một số biểu thức đối xứng giữa những nghiệm thường chạm mặt là :
+) $A = x_1^2 + x_2^2 = left( x_1 + x_2 ight)^2 - 2x_1x_2= S^2 - 2P$
+) $B = x_1^3 + x_2^3$
$= left( x_1 + x_2 ight)^3 - 3x_1x_2left( x_1 + x_2 ight)= S^3 - 3SP$
+) $C = x_1^4 + x_2^4 = left( x_1^2 + x_2^2 ight)^2 - 2x_1^2x_2^2$
$= left< left( x_1 + x_2 ight)^2 - 2x_1x_2 ight>^2 - 2left( x_1x_2 ight)^2= left( S^2 - 2P ight)^2 - 2P^2$
+) $D = left| x_1 - x_2 ight| $
$= sqrt left( x_1 + x_2 ight)^2 - 4x_1x_2 $.
+)
$E = left( x_1 - x_2 ight)^2 = left( x_1 + x_2 ight)^2 - 4x_1x_2$
$= S^2 - 4P $.
Dạng 2 : Giải phương trình bằng phương pháp nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : $ax^2 + bx + c = 0 m left( a e 0 ight)$.
+) ví như phương trình gồm $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm $x_1 = 1$, nghiệm tê là $x_2 = dfracca.$
+ ) trường hợp phương trình tất cả $a - b + c = 0$ thì phương trình tất cả một nghiệm $x_1 = - 1$, nghiệm tê là $x_2 = - dfracca.$
+) nếu $x_1,x_2$ là nhị nghiệm của phương trình thì $left{ eginarraylS = x_1 + x_2 = - dfracba\P = x_1x_2 = dfraccaendarray ight.$.
Dạng 3 : đối chiếu tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp :
Nếu tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c m left( a e 0 ight)$ tất cả hai nghiệm $x_1$ với $x_2$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $ax^2 + bx + c = aleft( x - x_1 ight)left( x - x_2 ight)$.
Dạng 4 : Tìm nhị số lúc biết tổng với tích
Phương pháp :
Để tìm nhì số $x,y$ khi biết tổng $S = x + y$ cùng tích $P = xy$, ta có tác dụng như sau:
Bước 1: Xét điều kiện $S^2 ge 4P$. Giải phương trình $X^2 - SX + p. = 0$ nhằm tìm những nghiệm $X_1,X_2$.
Bước 2: khi đó các số đề nghị tìm $x,y$ là $x = X_1,y = X_2$ hoặc $x = X_2,y = X_1$.
Dạng 5 : bài bác toán liên quan đến dấu những nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp :
Xét phương trình (ax^2 + bx + c = 0left( a e 0 ight)). Lúc đó:
1. Phương trình tất cả hai nghiệm trái vết ( Leftrightarrow ac 0\P > 0endarray ight.).
3. Phương trình có hai nghiệm dương rành mạch ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S > 0endarray ight.).
4. Phương trình gồm hai nghiệm âm minh bạch ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S Dạng 6 : xác minh điều khiếu nại của tham số nhằm nghiệm của phương trình thỏa mãn nhu cầu điều kiện cho trước.
Phương pháp :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình bao gồm nghiệm (left{ eginarrayla e 0\Delta ge 0endarray ight.).
Bước 2. Từ hệ thức đã mang đến và hệ thức Vi-ét, tìm kiếm được điều kiện của tham số.
Bước 3.
Xem thêm: Cách Tính Số Mũ Là Phân Số Mũ (Phân Số) Hữu Tỷ Căn Bậc Hai Của 3Ab
Kiểm tra điều kiện của thông số xem có thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại ở cách 1 hay là không rồi kết luận.