ü Đây là các gợi ý và đáp số của các bài tập về nhà chuyên đề dãy số. Các bài giải chỉ mang tính gợi ý và đã được rút gọn. Một số bài tương tự thầy sẽ chỉ cung cấp đáp án. Phương pháp giải bài siêu tốc của từng dạng thầy đã hướng dẫn trong các buổi học.

ü Mỗi giáo viên có thể có những cách trình bày khác nhau. Khi làm bài ở trường chúng ta cần trình bày đúng theo cách mà thầy cô giáo trên lớp hướng dẫn.

Mặc dù thầy đã kiểm tra rất kỹ nhưng cũng có thể khi đánh máy sẽ có những lỗi sai.Bạn nào phát hiện ra lỗi đánh máy sai nào hãy báo cho thầy biết để chúng ta cùng chỉnh sửa.

Bạn đang xem: Cộng tất cả các số lẻ từ 1 đến 11 sẽ bằng?


Dạng5. DÃY SỐ CÁCH ĐỀU VÀ CHỮ SỐ


1. Bạn Minh viết các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2001. Hỏi bạn Minh đã viết tất cả bao nhiêu chữ số ?

Giải:

Số các số lẻ từ 1 đến 9 là:

(9 – 1):2 + 1 = 5 (số)

Số lượng các chữ số tạo thành các số lẻ từ 1 đến 9 là:

5 1 = 5 (chữ số)

Số các số lẻ từ 11 đến 99 là:

(99 – 11):2 + 1 = 45 (số)

Số lượng các chữ số tạo thành các số lẻ từ 11 đến 99 là:

45 2 = 90 (chữ số)

Số các số lẻ từ 101 đến 999 là:

(999 – 101):2 + 1 = 450 (số)

Số lượng các chữ số tạo thành các số lẻ từ 101 đến 999 là:

450 3 = 1350 (chữ số)

Số các số lẻ từ 1001 đến 2001 là:

(2001 – 1001):2 + 1 = 501 (số)

Số lượng các chữ số tạo thành các số lẻ từ 1001 đến 2001 là:

501 4 = 2004 (chữ số)

Số các chữ số bạn Minh phải viết là:

5 + 90 + 1350 + 2004 = 3449 (chữ số)

Đáp án:3449

2. Người ta tính rằng phải dùng 2001 chữ số để ghi số trang một quyển sách. Hỏi quyển sách đó dày bao nhiêu trang?

Giải:

Số các số hạng từ 1 đến 9 là:

(9 – 1):1 + 1 = 9 (số )

Số các chữ số để đánh số trang từ 1 đến 9 là:

9 1 = 9 (chữ số)

Số các số hạng từ 10 đến 99 là:

(99 – 10):1 + 1 = 90 (số )

Số các chữ số để đánh số trang từ 10 đến 99 là:

90 = 180 (chữ số)

Sau khi đánh xong số trang từ 1 đến 99 thì còn lại số chữ số là:

2001 – 9 – 180 = 1812 (chữ số)

Số lượng các trang có 3 chữ số là:

1812 : 3 = 604 (trang)

Quyển sách đó dày là:

604+9 + 90 = 703 (trang)

Đáp án:703

3. Bạn Tú viết dãy số tự nhiên liên tiếp kể từ 1.Hỏi chữ số thứ 6897 của dãy số đó là chữ số nào?

Giải:

Từ 1 đến 9 có số số hạng là:

(9 – 1):1 + 1 = 9 (số )

Từ 1 đến 9 có số chữ số là:

9 1 = 9 (chữ số)

Từ 10 đến 99 có số số hạng là:

(99 – 10):1 + 1 = 90 (số )

Từ 10 đến 99 có số chữ số là:

90 = 180 (chữ số)

Từ 100 đến 999 có số số hạng là:

(999 – 100):1 + 1 = 900 (số )

Từ 100 đến 999 có số chữ số là:

900

*
= 2700 (chữ số)

Sau khi viết các số từ 1 đến 999 thì còn lại số chữ số là:

6897 – (9 + 180 + 2700) = 4008(chữ số)

Số lượng các số có 4 chữ số được viết là:

4008: 4 = 1002 (số)

Số chứa chữ số thứ 6897 là:

1000 + (1002 – 1) 1 = 2001

Vậy chữ số thứ 6897 là 1

Đáp án: 1

4. Bạn Minh Anh viết dãy số tự nhiên liên tiếp kể từ 1.Hỏi chữ số thứ 1000 của dãy số đó là chữ số nào?

Hướng dẫn:

Từ 1 đến 9 có: 9 chữ số

Từ 10 đến 99 có: 90 số -> 90 2 = 180 chữ số

Từ 100 đến 999 có 900 số - > 900 3 = 2700 chữ số

Chữ số thứ 1000 sẽ nằm trong khoảng từ 100 đến 999.

Số lượng chữ số của các số có 3 chữ số là:

1000 – 9 – 180 = 811 (chữ số)

Số lượng các số có 3 chữ số là:

811 : 3 = 270 (dư 1)

Số thứ 270 trong dãy từ 100 đến 999 là :

100 + (270 – 1):1 = 369

ð chữ số thứ 1000 là số 3

Đáp số: 3

5. Bạn Quang viết dãy số chẵn liên tiếp kể từ 2.Hỏi chữ số thứ 2002 của dãy số đó là chữ số nào?

Hướng dẫn:

Số chẵn từ 2 đến 8 có :4 số ->4 chữ số

Số chẵn từ 10 đến 98 có :45 số -> 45 2 = 90 chữ số

Số chẵn từ 100 đến 998 có :450 số ->450 3 = 1350 cs

Số chẵn từ 1000 đến 9998 có : 4500 số -> 4500 4 = 18000 cs.

Chữ số thứ 2002 sẽ thuộc 1 chữ số chẵn nằm trong khoảng từ 1000 đến 9998.

Số lượng chữ số của các số có 4 chữ số là:

2002 – (4 + 90 + 1350) = 558 (chữ số)

Số các số chẵn có 4 chữ số là:

558:4 = 139 (dư 2)

Số hạng thứ 139 trong dãy từ 1000 là:

1000 + (139 – 1) 2 = 1276

Số hạng thứ 140 là 1278

Chữ số thứ 2002 là số 2

Đáp số: 2

6. Viết dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99. Tính tổng của tất cả các chữ số của dãy số đó.

Hướng dẫn:

Cách 1:

Tính tổng các chữ số theo các cặp như sau:

1 và 98: 1 + 9 + 8 = 18

2 và 97: 2 + 9 + 7 = 18

3 và 96: 3 + 9 + 6 = 18

49 và 50: 4 + 9 + 5 + 0 = 18

Tổng các chữ số của dãy số từ 1 đến 98 là:

18 49 = 882

Tổng các chữ số của dãy số từ 1 đến 99 là:

882 + 18 = 900

Đáp số: 900

Cách 2:

Đối với các số từ 1 đến 9 ta thêm 1 chữ số 0 vào đằng trước ta sẽ được 1 dãy số như sau:

01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,…,99

Nhận xét:

Số lần xuất hiện của các chữ số {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ở hàng chục và hàng đơn vị là 10 lần nên ta có tổng của các chữ số như sau:

(0+1+2+…+9) 10 + (0+1+2+3+…+9) 10 = 900

Đáp án:900

7. Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến N. Tìm số N sao cho số chữ số của dãy đó gấp 4 lần số N.

Giải:

Để số chữ số gấp 4 lần số số hạng thì trung bình 1 số phải có 4 chữ số.

Từ 1 đến 9 có 9 số gồm 1 chữ số.Mỗi số đó cần phải viết thêm 3 chữ số. Nên số chữ số cần viết thêm là:

3 9 = 27 (chữ số)

Từ 10 đến 99 có 90 số gồm hai chữ số.Mỗi số cần viết thêm 2 chữ số. Nên số chữ số cần viết thêm là:

2 90 = 180 (chữ số)

Từ 100 đến 999 có 900 số gồm 3 chữ số.Mỗi số cần viết thêm 1 chữ số. Nên số chữ số cần viết thêm là:

1 900 = 900 (chữ số)

Từ 1000 đến 9999 có 9000 số có 4 chữ số. Vì mỗi số đều gồm 4 chữ số nên số chữ số của dãy từ 1000 đến 9999 gấp 4 lần số các số hạng của dãy số đó.

Số lượng các chữ số cần bù để đảm bảo mỗi số có 4 chữ số là:

27 + 180 + 900 = 1107

Số N cần tìm là:

10000 + 1107 – 1 = 11106

Đáp số: 11106


8. Cho các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 101. Tính giá trị biểu thức một cách hợp lý :

a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100 + 101

b) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 97 – 98 + 99 – 100 + 101,

trong đó lần lượt cứ một phép từ lại một phép cộng, rồi

lại phép trừ và phép cộng.

Giải:

a) Tổng của dãy số này là:

(1 + 101) 101 : 2 = 5151

b) Ta thay đổi vị trí các phép toán như sau:

S = 1 + (3 – 2) + (5 – 4)+(7 – 6)+…+(101 – 100)

Nhận xét: Các số bị trừ trong các cụm ngoặc là 1 dãy số cách đều với khoảng cách là 2: 3,5,7,…,99,101

Số số hạng của dãy số này cũng chính bằng số cụm ngoặc trong biểu thức và bằng:

(101 – 3): 2 + 1 = 50

ð S = 1 + 50 1 = 51

Đáp án: a)5151 b)51

9. Tính giá trị biểu thức một cách hợp lý :

10 – 12 + 14 – 16 + 18 – 20 + … + 90 – 92 + 94 – 96 + 98,

trong đó lần lượt cứ một phép trừ lại một phép cộng, rồi lại phép trừ và phép cộng.

Lời giải rút gọn:

Ta thay đổi vị trí các phép toán như sau:

S=10 + (14 – 12) + (18 – 16) + (22 – 20)+…+(98 – 96)

S= 10 + 2 22

Đáp án:54

10. Tính giá trị biểu thức một cách hợp lý :

1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + … + 1997 + 1998 – 1999 – 2000 + 2001 + 2002.

Giải:

Biến đổi biểu thức như sau:

S= 1 + 2 + (5 + 6 – 3 – 4) + (9+10 –7– 8)+…+(2001 + 2002 – 1999 – 2000 )

Số lượng các cụm ngoặc của biểu thức trên là:

(2001 – 5):4 + 1 = 500

ð S = 1+2+ 4 500 = 2003

Đáp số : 2003

11. Bạn Hòa viết biểu thức :

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 21

Bạn Bình viết biểu thức :

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 20

Trong đó dấu (*) chỉ dấu (+) hoặc dấu (-). Hỏi ai đúng, ai sai ?Hãy điền dấu (+) và (-) vào dấu (*) để có biểu thức đúng.

Đáp án:

Bình sai,Hòa đúng.

Biểu thức đúng là:

1+2+3+4-5+6-7+8+9=21 hoặc

1+2+3-4+5+6+7-8+9=21 hoặc

1+2-3+4+5+6+7+8-9=21

12. Tìm số tự nhiên a, biết:

(a 1+1)+(a 2 + 4)+(a 3 + 7 )+(a 4 + 10)+….+(a n + 28) = 200

Trong đó 1, 4, 7, 10, …, 28 là dãy số cách đều.

Giải:

Biến đổi biểu thức thành:

(a 1 + a 2 + …+a n) + (1 + 4 + 7 + 11 +…+28) = 200

Dãy số 1, 4, 7, 10, … , 28 có số số hạng là:

(28 – 1):3 + 1 = 10

Nhận xét số số hạng của dãy số trên chính bằng n và bằng 10

Ta có biểu thức như sau:

(a 1 + a 2 + …+a 10) + (1 + 4 + 7 + 11 +…+28) = 200

Ta có:

1 + 4 + 7 + 11 +…+28 = (1 + 28) 10:2 = 145

1+2+3+…+9+10 = (1 +10) 10:2 =55

Biểu thức được biến đổi thành:

55 a + 145 = 200

ð 55 a = 200 – 145 = 55

ð a = 1

Đáp số: a=1

13. Cho dãy số cách đều 1, 4, 7, 10, …, x.Tìm x biết rằng tổng các số hạng của dãy đó bằng 117.

Giải:

Số số hạng của dãy số trên là:

(x – 1):3 + 1 = (x – 1 + 3): 3 = (x + 2):3

Tổng của dãy số trên là:

(1 + x) (x + 2):3:2 = 117

ð (1 + x) (x + 2) = 117 3 2

ð (x + 1) (x + 2) = 117 6 = 702

ð (x + 1) (x + 2) = 26 27

ð x + 1 = 26

ð x = 25

Đáp số: 25

14. Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n. Tìm n và ab, biết:

1 + 2 + 3 + 4 + … + n =

Giải:

Áp dụng công thức tính tổng ta có:

(1 + n) n:2 = = 101

ð n (n + 1) = 2

*
101

Vì n và (n+1) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên (2 a) và 101 cũng là 2 số tự nhiên liên tiếp

ð 2 = 100 hoặc 102

Xét TH1: Với 2 = 100

è = 100:2 = 50

Và n (n + 1) = 100 101

è n = 100

Xét TH2: Với 2 = 102

è = 102:2 = 51

Và n (n + 1) = 102 101

è n = 101

Đáp số:

*
và n = 100 hoặc
*
và n = 101

15. Tìm x biết:

( x + 9 ) + ( x – 2 ) + (x + 7 ) + ( x – 4 ) + ( x + 5 ) + ( x – 6 ) + (x + 3 ) +( x – 8 ) + ( x + 1 ) = 95.

Giải:

(x + x + x + …+x) + (9 – 2 + 7 – 4 + 5 – 6 + 3 – 8 + 1) =95

è 9 x + 5 = 95

è 9 x = 95 – 5 = 90 = 9 10

è x = 10

Đáp số: x = 10

16. Tính nhanh:

10,11 + 11,12 + 12,13 + … + 97,98 + 98,99 + 99,100.

Hướng dẫn giải:

Ta ghép các cặp số sau để tính tổng:

10,11 + 97,98 = 108,09

11,12 + 96,97 = 108,09

12,13 + 95,96 = 108,09

53,54+ 54,55 = 108,09

*

108,09 44 = 4755,96

Tổng của biểu thức là:

4755,96 + 98,99 + 99,100 = 4954,05

Đáp số: 4954,05

17.

Xem thêm: Tuyển Tập Những Câu Hỏi Về An Toàn Giao Thông Cho Học Sinh Thcs

Tính giá trị biểu thức một cách hợp lý:

1,3 – 3,2 + 5,1 – 7 + 8,9 – 10,8 + … + 35,5 – 37,4 + 39,3 – 41,2 + 43,1.

Giải:

Thay đổi vị trí các phép toán ta được biểu thức mới như sau:

S= 1,3 + (5,1 – 3,2) + (8,9 – 7)+…+(43,1 – 41,2)

Nhận xét các số bị trừ trong các cụm ngoặc là 1 dãy số cách đều với khoảng cách là :

8,9 – 5,1 = 3,8

Số lượng các cụm ngoặc ở biểu thức trên là:

(43,1 – 5,1):3,8 + 1 = 11

=> S = 1,3 + 11 1,9 = 22.2

Đáp số: 22.2

18. Viết dãy số cách đều có 10 số hạng, biết rằng tổng các số hạng thứ 1, 3, 5, 7 và 9 bằng 12,5 ; tổng các số hạng thứ 2, 4 ,6 , 8 và 10 bằng 15.