Các dạng bài tập toán về phương trình mặt đường tròn là trong những nội dung mà nhiều người cảm thấy "dễ thở hơn" bởi nội dung cũng khá rõ ràng và dễ hiểu, mặc dù nội dung này cũng tương đối đầy đủ các bài xích tập cạnh tranh nhằn đâu nhé.

Bạn đang xem: Cách viết phương trình đường tròn


Vì vậy, trong nội dung bài viết này họ cùng hệ thống lại những dạng bài xích tập toán về phương trình con đường tròn, áp dụng giải qua những ví dụ minh hoạ ráng thể, để từ đó các em dễ dàng vận dụng với phân một số loại khi chạm mặt các dạng bài xích tập về đường tròn.

Đây cũng chính là nội dung căn nguyên cho kỹ năng và kiến thức về mặt mong trong không gian ở lớp 12, và trước lúc bắt tay vào giải các dạng bài xích tập mặt đường tròn thì chúng ta phải nắm rõ được tính chất của đường tròn qua phần lý thuyết.

I. Kim chỉ nan về phương trình con đường tròn

1. Phương trình mặt đường tròn:

- Phương trình đường tròn gồm tâm I(a;b), bán kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

*
- nếu như a2 + b2 - c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm I(a;b), cung cấp kính 
*

2. Phương trình tiếp con đường của con đường tròn

- mang đến điểm M0(x0; y0) nằm trên phố tròn (C) trung tâm I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) có phương trình:

 (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

*
II. Những dạng bài bác tập phương trình con đường tròn.

Dạng 1: dấn dạng phương trình đường tròn, tìm điều kiện để 1 PT là phương trình mặt đường tròn

* Phương pháp:

+) bí quyết 1: Đưa phương trình đã mang lại về dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = p (*)

 - Nếu p. > 0 thì (*) là PT con đường tròn trung tâm I(a;b) và cung cấp kính 

*

 - trường hợp P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT đường tròn.

+) bí quyết 2: Đưa phương trình đã mang lại về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (**)

 ° Đặt p. = a2 + b2 - c 

 - Nếu p > 0 thì (**) là PT con đường tròn trọng tâm I(a;b) và nửa đường kính

*

 - nếu P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT mặt đường tròn.

 Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào trình diễn phương trình con đường tròn, tìm trọng tâm và nửa đường kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta tất cả a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 - c = (-1)2 + (2)2 - 9 = -4 2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0,

- giống như có: a2 + b2 - c = (3)2 + (-2)2 - 13 = 0 2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0

- tựa như có: a2 + b2 - c = (2)2 + (1)2 + 3 = 8 > 0, đó là phương trình đường tròn trọng tâm I(2;1) nửa đường kính R=2√2.

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0, phương trình này không hẳn pt con đường tròn vì hệ số của x2 với y2 khác nhau.

 Ví dụ 2: Cho mặt đường cong (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm đk của m nhằm (Cm) là phương trình đường tròn.

b) lúc (Cm) là pt mặt đường tròn search toạ độ trung tâm và nửa đường kính theo m.

* Lời giải:

a) Để (Cm) là phương trình đường tròn thì: m2 +<2(m-2)>2 - (6 -m) > 0

⇔ mét vuông + 4m2 - 16m + 16 - 6 + m > 0

⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0

⇔ m2 - 3m + 2 > 0

⇔ m 2

b) Với đk trên thì (Cm) gồm tâm I và bán kính 

*

 Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (Cα) là mặt đường tròn

b) Xác định α để (Cα) có nửa đường kính lớn nhất

c) tìm kiếm quỹ tính tâm I của (Cα)

* Lời giải:

a) Để (Cα) là mặt đường tròn thì : cos2α + sin2α - cos2α > 0

- Ta có; VT = cos2α + sin2α - cos2α = 1 - cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kπ)

- lưu lại ý: Nếu α = kπ mặt đường tròn là 1 điểm.

b) Để (Cα) có bán kính lớn nhất:

- Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)

 ⇒ Rmax = √2 khi sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn Cα bao gồm toạ độ trung ương I(cosα; sinα) tức là: 

*
 khử α ta có: x2 + y2 = 1 chính là quỹ tích trọng điểm I của Cα.

• Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

* Phương pháp:

° Cách 1: 

 - tìm kiếm toạ độ trọng tâm I(a;b) của con đường tròn (C)

 - Tìm nửa đường kính R của (C)

 - Viết phương trình mặt đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

° bí quyết 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

 - Từ điều kiện bài toán cho tùy chỉnh cấu hình hệ pt 3 ẩn a, b, c

 - Giải hệ search a, b, c gắng vào pt mặt đường tròn (C).

* lưu lại ý: Đường tròn (C) đi qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 và thường được áp dụng vào việc yêu ước viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (chính là viết pt con đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

 Ví dụ: Lập phương trình con đường tròn (C) trong những trường đúng theo sau:

a) tất cả tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0)

b) Có 2 lần bán kính AB với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) có tâm I(1;-3) và trải qua điểm O(0;0):

- Ta bao gồm R = OI, mà 

*

⇒ Đường tròn (C) tất cả tâm I(1;-3) và bán kính 

*
 có pt:

 (x - 1)2 + (y + 3)2 = 10

b) (C) có đường kính AB cùng với A(1;1), B(5,3).

- Ta có toạ độ trung khu I của (C) là trung điểm A,B là:

 

*
 
*

- buôn bán kính 

*

⇒ Đường tròn (C) bao gồm tâm I(3;2) và bán kính

*
 có pt:

(x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

c) Đường tròn (C) trải qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) bao gồm dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- vì chưng (C) đi qua A, B, C cần thay thứu tự toạ độ A, B, C vào pt mặt đường tròn (C) ta có hệ sau:

 

*
 
*
*

- Giải hệ trên ta được 

*

⇒ Đường tròn (C) là: 

*

• Dạng 3: Viết phương trình con đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

* Phương pháp: nhờ vào tính hóa học tiếp tuyến

- Đường tròn (C) tiếp xúc với mặt đường thẳng (Δ) thì: d = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với mặt đường thẳng (Δ) trên điểm A thì: d = IA = R

- Đường tròn (C) xúc tiếp với 2 mặt đường thẳng (Δ1) và (Δ2) thì: d = d = R

 Ví dụ 1: Lập phương trình con đường tròn (C) trong những trường thích hợp sau:

a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc cùng với Ox

b) (C) tất cả tâm I(-1;2) với tiếp xúc với mặt đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) trải qua A(2;-1) cùng tiếp xúc cùng với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) tất cả tâm I(2;5) với tiếp xúc với Ox

- Ox tất cả phương trình: y = 0

- bán kính R của mặt đường tròn là khoảng cách từ I mang lại Ox ta có:

 

*

⇒ Phương trình đường tròn (C) gồm dạng: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có:

*
*

⇒ Phương trình mặt đường tròn (C) gồm dạng: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

c) (C) đi qua A(2;-1) với tiếp xúc cùng với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- bởi vì A nằm tại góc phần bốn thứ tư nên đường tròn cũng bên trong góc phần tư thứ tư này, cần toạ độ trung ương I=(R;-R).

- Ta có:

*

⇔ R2 = R2 - 4R + 4 + R2 - 2R + 1

⇔ R2 - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy bao gồm 2 đường tròn thoả mãn đk bài toán là:

 (C1): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

 (C2): (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

 Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 cùng (d2): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng R=√10 có tâm ở trong d1 và tiếp xúc với d2.

* Lời giải:

- trung ương I ∈ d1 phải I(-2a+3;a) vày (C) xúc tiếp với d2 buộc phải ta có:

 

*
*

⇒ I1(19;-8) với I2(-21;12)

⇒ có 2 đường tròn thoả mãn đk là:

 (C1): (x - 19)2 + (y + 8)2 = 10

 (C2): (x + 21)2 + (y - 12)2 = 10

 Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến đường thẳng (d1): x + 2y - 8 = 0 với (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên (d): x - 2y + 1 = 0 xúc tiếp với (d1) và d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) vày (C) tiếp xúc với (d1) với (d2) bắt buộc ta có:

*

*

*
*

⇒ Vậy gồm 2 con đường tròn vừa ý điều kiện.

- với a = -12 thì I(-25;-12), 

*
 Phương trình con đường tròn (C1):

 

*
 

- Với 

*
 thì 
*
*
 Phương trình đường tròn (C2):

 

*

• Dạng 4: Viết phương trình mặt đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° phương pháp 1:

- Tính diện tích S và nửa chu vi phường của tam giác để tính được nửa đường kính đường tròn 

*

- call I(a;b) là trung khu của mặt đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác cân nhau và bởi r, từ đó lập thành hệ pt cùng với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a, b cùng phương trình đường tròn.

° giải pháp 2:

- Viết phương trình con đường phân giác trong của 2 góc vào tam giác.

- tra cứu giao điểm 2 mặt đường phân giác đó ta được tâm I của mặt đường tròn

- Tính khoảng cách từ I cho tới 1 cạnh bất kỳ của tam giác ta được phân phối kính.

 Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) với B(0;3)

a) Viết phương trình đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông trên O bắt buộc tâm của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB buộc phải tâm toạ độ chổ chính giữa I của đường tròn nội tiếp là: I=(2;3/2).

⇒ bán kính: R = IA = 5/2

⇒ PT đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: 

*

b) Ta đang tính diện tích và nửa chu vi của OAB

- Ta tất cả

*

- Nửa chu vi: 

*

⇒ 

*

- vị đường tròn xúc tiếp với 2 trục toạ độ buộc phải tâm Ir=(r;r)=(1;1)

⇒ Pt con đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1

 Ví dụ 2: Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo vị 3 đường thẳng:

 (d1): 4x - 3y - 65 = 0

 (d2): 7x - 24y + 55 = 0

 (d3): 3x + 4y - 5 = 0

* Lời giải:

- điện thoại tư vấn ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:

 AB: 4x - 3y - 65 = 0

 BC: 7x - 24y + 55 = 0

 CA: 3x + 4y - 5 = 0

- Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)

- Ta bao gồm VTPT:

*
,
*
 

- hay thấy tam giác vuông tại A do 

*

- Tính độ dài các cạnh ta có: AB = trăng tròn ; BC = 25; CA = 15

- diện tích s tam giác ABC: SABC = 150

- Nửa chu vi là: 

*

- nửa đường kính đường tròn nội tiếp là: r = S/P = 150/30 = 5.

Xem thêm: Giải Bài Thực Hành Hóa Số 1 Lớp 11 Bài 6: Bài Thực Hành 1: Tính Chất Axit Bazơ

- Gọi nửa đường kính đường tròn nội tiếp là I(a;b) thì khoảng cách từ I tới những đường thẳng đã cho đầy đủ là r=5 phải ta có.