Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức cũng là dạng toán chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm hoặc lớn hơn hay nhỏ hơn 1 số nào đó.

Bạn đang xem: Cách tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức


Cụ thể cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hay giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức như thế nào? Chúng ta sẽ tìm hiểu qua bài viết dưới đây để 1ua đó vận dụng giải một số bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

I. Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

Bạn đang xem: Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức – Toán 8 chuyên đề


Cho một biểu thức A, ta nói rằng số k là GTNN của A nếu ta chứng minh được 2 điều kiện:

i) A ≥ k với mọi giá trị của biến đối với biểu thức A

ii) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của A để khi thay vào, A nhận giá trị k.

Tương tự, cho biểu thức B, ta nói rằng số h là GTLN của B nếu ta chứng minh được 2 điều kiện:

i) B ≤ h với mọi giá trị của biến đối với biểu thức B.

ii) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của B để khi thay vào, B nhận giá trị h.

* Lưu ý: Khi làm bài toán tìm GTLN và GTNN học sinh thường phạm phải hai sai lầm sau:

1) Khi chứng minh được i), học sinh vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện ii)

2) Đã hoàn tất được i) và ii), tuy nhiên, học sinh lại quên đối chiếu điều kiện ràng buộc của biến.

Hiểu đơn giản, bài toán yêu cầu xét trên một tập số nào đó của biến (tức là thêm các yếu tố ràng buộc) mà học sinh không để ý rằng giá trị biến tìm được ở bước ii) lại nằm ngoài tập cho trước đó.

Vậy GTNN của A bằng -9/2 đạt được khi x = 3/2

* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: B = 2 + 4x – x2

> Lời giải:

– Ta có: B = 2 + 4x – x2 = 6 – 4 + 4x – x2 

 = 6 – (4 – 4x + x2) = 6 – (2 – x)2

Vì (2 – x)2 ≥ 0 

⇒ -(2 – x)2 ≤ 0 (đổi dấu đổi chiều biểu thức)

⇒ 6 – (2 – x)2 ≤ 6 (cộng hai vế với 6)

Vậy GTLN của biểu thức B bằng 6 đạt được khi (2 – x)2 = 0 ⇒ x = 2.

* Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: C = 2x – x2

> Lời giải:

– Ta có: C = 2x – x2 = -x2 + 2x – 1 + 1

 = 1 – (x2 – 2x + 1) = 1 – (x – 1)2

Vì (x – 1)2 ≥ 0 

⇒ -(x – 1)2 ≤ 0 (đổi dấu đổi chiều biểu thức)

⇒ 1 – (x – 1)2 ≤ 1 (cộng hai vế với 1)

Vậy GTLN của biểu thức C bằng 1 đạt được khi (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Dạng 2: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có chứa dấu trị tuyệt đối

Phương pháp: Đối với dạng tìm GTLN, GTNN này ta có hai cách làm sau:

+) Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

+) Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:

 ∀x, y ∈ Q ta có:

|x + y| ≤ |x| + |y| Dấu “=” xảy ra khi x.y ≥ 0|x – y| ≤ |x| – |y|

* Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (2x – 1)2 – 6|2x – 1| + 10

> Lời giải:

– Đặt y = |2x – 1| ⇒ y2 = (2x – 1)2

– Ta có: A = (2x – 1)2 – 6|2x – 1| + 10 = y2 – 6y + 10

 = y2 -2.3.y + 9 + 1 = (y – 3)2 + 1

Vì (y – 3)2 ≥ 0 ⇒ (y – 3)2 + 1 ≥ 1.

min(A) = 1 khi chỉ khi (y – 3)2 = 0 ⇔ y = 3 ⇔ |2x – 1| = 3

⇔ 2x – 1 = 3 hoặc 2x – 1 = -3

⇔ 2x = 4 hoặc 2x = -2

⇔ x = 2 hoặc x = -1.

Kết luận: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 2 hoặc x = -1.

* Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = |x – 1| + |x – 3|

> Lời giải:

– Lưu ý rằng |-a| = |a|, nên ta có:

 B = |x – 1| + |x – 3| = |x – 1| + |3 – x| ≥ | x – 1 + 3 – x| = 2.

Xem thêm: Hoa Leo Sử Quân Tử, Cây Hoa Giun, Hoa Sử Quân Tử Hoa Leo Đẹp Cho Mùa Hè Oi Bức

 Suy ra: B ≥ 2 dấu “=” xảy ra khi chỉ khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0

⇔ x – 1 ≥ 0 và 3 – x ≥ 0;

hoặc x – 1 ≤ 0 và 3 – x ≤ 0

⇔ (x ≥ 1 và 3 ≥ x)

hoặc (x ≤ 1 và 3 ≤ x)

⇔ 1 ≤ x ≤ 3

* Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau:

a) A = x2 – 8x + 19

b) B = x2 – 10x + 27

c) C = x2 – 2x + y2 + 4y + 8

* Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất các biểu thức sau:

a) A = 10x – 2x2

b) B = 5 – 6x – x2

c) C = -x2 + 8x + 6

* Bài tập 10: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức (nếu có)

a) A = |x – 2020| + |x – 2021|

b) B = |x – 3| + |x – 4| + 2019

Hy vọng qua bài viết về cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức ở trên giúp các em hiểu rõ hơn và không còn ái ngại mỗi khi gặp dạng toán này.