Cách Tìm Cực Trị Của Hàm Số (Hai Quy Tắc Tìm Cực Trị Của Hàm Số)

Nội dung lý thuyết về các tìm (quy tắc) tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số các em đã được tìm hiểu ở bài trước. Bài này chúng ta sẽ vận dụng giải một số bài tập tìm cực trị của hàm số.

Bạn đang xem: Cách tìm cực trị của hàm số

Một số dạng bài tập cơ bản như tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) áp dụng quy tắc I hoặc quy tắc II (với một số bài toán chúng ta có thể áp dụng bất kỳ 1 trong 2 cách để tìm cực trị); hay các bài toán chứng minh điểm cực đại, cực tiểu; tìm tham số m để hàm cực đại hay cực tiểu tại 1 điểm,... sẽ được giới thiệu trong bài viết này.

• Lý thuyết Cực trị của hàm số và 2 quy tắc tìm cực trị

* Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12: Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

b) y = x4 + 2x2 - 3

d) y = x3(1 - x)2

> Lời giải:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

- TXĐ: D = R

- Kết luận :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b) y = x4 + 2x2 - 3

- TXĐ: D = R

y"= 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1) = 0;

y" = 0 ⇔ 4x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3

Hàm số không có điểm cực đại.

- TXĐ: D = R\{0}

;

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = -2;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.

d) y = x3(1 - x)2

- Ta có: y"= (x3)’.(1 – x)2 + x3.<(1 – x)2>’

= 3x2.(1 – x)2 + x3.2(1 – x).(1 – x)’

= 3x2(1 – x)2 - 2x3(1 – x)

= x2.(1 – x)(3 – 5x)

y" = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 3/5 ; yCĐ = 108/3125

Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1. yCT = 0;

> Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.

- Ta có: TXĐ: D = R.

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2, yCT = (√3)/2.

* Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12: Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x4 - 2x2 + 1;

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx;

d) y = x5 - x3 - 2x + 1

> Lời giải:

a) y = x4 - 2x2 + 1;

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y" = 4x3 - 4x

y" = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

- Lại có y" = 12x2 - 4

y"(0) = -4 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

y"(-1) = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) y = sin2x – x

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y" = 2cos2x – 1;

y" = 0 ⇔ 2cos2x - 1 = 0 ⇔ cos2x = 1/2

- Lại có: y"" = -4sin2x

là các điểm cực tiểu của hàm số.

d) y = x5 - x3 - 2x + 1

- TXĐ: D = R

- Ta có: y"= 5x4 - 3x2 - 2

y" = 0 ⇔ 5x4 – 3x2 – 2 = 0

⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

- Lại có: y" = 20x3 - 6x

y"(-1) = -20 + 6 = -14 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

* Bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12: Chứng minh hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

> Lời giải:

- Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.

- Chứng minh hàm số y = f(x) = √|x| không có đạo hàm tại x = 0.

- Ta có:

⇒">⇒ Nên không tồn tại giới hạn:

⇒ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 0.

Dễ thấy

với mọi x ∈ R và f(0) = 0 nên x = 0 chính là điểm cực tiểu của hàm số.

* Bài 4 trang 18 SGK Giải tích 12: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số:

y = x3 - mx2 - 2x + 1

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

> Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: y" = 3x2 - 2mx – 2

y" = 0 ⇔ 3x2 – 2mx – 2 = 0

- Lại có: y"" = 6x – 2m. nên:

là một điểm cực tiểu của hàm số.

- Vậy với mọi giá trị tham số của m thì hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

- Nhận xét: Thực ra, với yêu cầu của bài toán này thì chúng ta chỉ cần tính Δ" = m2 - 6 > 0 với mọi giá trị của m, nên y" luôn có 2 nghiệm phân biệt và y" đổi dấu khi qua các nghiệm đó. (hàm đa thức bậc 3 có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu khi và chỉ khi y"=0 có 2 nghiệm phân biệt).

* Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12: Tìm a và b để các cực trị của hàm số: