Xin chào các bạn, hôm nay chúng ta sẽ bước sang một khái niệm mới lạ đó là Logarit, một phần rất quan trọng trong Đại số 12. Vì vậy, hôm nay nasaconstellation.com sẽ đem đến cho các bạn lý thuyết về logarit chi tiết và đầy đủ nhất. Hãy cùng nasaconstellation.com bắt đầu buổi học hôm nay nhé.

Bạn đang xem: Các tính chất của logarit

1. Khái niệm Lôgarit

Sau đây là định nghĩa và tính chất của lôgarit.

1.1 Định nghĩa Lôgarit

Cho hai số dương a, b với a \neq 1. Số \alpha thoả mãn đẳng thức a^{\alpha} = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \log_{a}b.


Ví dụ: 3^{2\log_{3}5} = (3^{\log_{3}5})^{2} = 5^{2} = 25; \log_{\frac{1}{2}}8 = log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{-3} = 3

2. Quy tắc tính Lôgarit

Dưới đây là cách tính lôgarit của một tích hoặc lôgarit của một thương.

2.1 Quy tắc tính Lôgarit của một tích

Cho ba số dương a, b_{1}, b_{2} với a \neq 1, ta có:


Chứng minh:

Đặt \alpha _{1} = \log_{a}b_{1}, \alpha _{2} = \log_{a}b_{2}, ta có:

\alpha _{1} + \alpha _{2} = \log_{a}b_{1} + log_{a}b_{2} (1)

Mặt khác vì b_{1} = a^{\alpha _{1}}, b_{2} = a^{\alpha _{2}} suy ra b_{1}b_{2} = a^{\alpha _{1} + \alpha _{2}}

Do đó \alpha _{1} + \alpha _{2} = \log_{a}b_{1}b_{2} (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \log_{a}b_{1}b_{2} = \log_{a}b_{1} + \log_{a}{b_{2}}

Ví dụ: \log_{6}9 + \log_{6}4 = \log_{6}(9.4) = \log_{6}36 = 2

2.2 Quy tắc tính Lôgarit của một thương

Cho ba số dương a, b_{1}, b_{2} với a \neq 1, ta có:


Lôgarit của một thương
\log_{a}\frac{b_{1}}{b_{2}} = log_{a}b_{1} – log_{a}b_{2}
Nghĩa là:Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit

Chứng minh: Tương tự chứng minh lôgarit của một tích


Lưu ý
: \log_{a}\frac{1}{b} = -\log_{a}b (a > 0, b > 0, a \neq 1)

Ví dụ: \log_{7}49 - \log_{7}343 = log_{7}\frac{49}{343} = log_{7}\frac{1}{7} = -\log_{7}7 = -1

2.3 Quy tắc tính Lôgarit của một luỹ thừa

Cho hai số dương a, b; a\neq 1. Với mọi \alpha ta có:


Lôgarit của một luỹ thùa
\log_{a}b^{\alpha} = \alpha\log_{a}b
Nghĩa là:Lôgarit của một luỹ thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.

Chứng minh:

Đặt \beta = \log_{a}b thì b = a^{\beta}.

Do đó b^{\alpha} = (a^{\beta})^{\alpha} = a^\alpha \beta{}.

Suy ra \alpha \beta = \log_{a}b^{\alpha} hay \alpha \log_{a}b = \log_{a}b^{\alpha}


Lưu ý
: \log_{a}\sqrt{b} = \frac{1}{n}\log_{a}b

Ví dụ: \log_{2}4^{\frac{1}{7}} = log_{2}2^{\frac{2}{7}} = \frac{2}{7}

3. Đổi cơ số Lôgarit

Cho ba số dương a, b, c với a \neq 1, c\neq 1, ta có:


Đổi cơ số lôgarit
\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}

Chứng minh:

Ta có: \log_{c}b = \log_{c}(a^{\log_{a}b}) = \log_{a}b.\log_{c}a.

Vì a \neq 1 nên \log_{c}a \neq 0. Do đó : \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}


Lưu ý: \log_{a}b = \frac{a}{\log_{b}a} (b \neq 1)\log_{a^{\alpha}}b = \frac{1}{\alpha} log_{a}b (a \neq 0)

Ví dụ:


Tính 2^{\log_{4}15} ?
Ta có \log_{4}15 = \log_{2^{2}}15 = log_{2}\sqrt{15}.Do đó 2^{\log_{4}15} = 2^{\log_{2}\sqrt{15}} = \sqrt{15}

4. Lôgarit thập phân – Lôgarit tự nhiên

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.

Xem thêm: Lý Thuyết Từ Trường Của Dòng Điện Chạy Trong Các Dây Dẫn Có Hình Dạng Đặc Biệt

\log_{10}b thường được viết là \log_{}b hoặc \lg_{}b

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e.

\log_{e}b được viết là \ln_{}b

Cảm ơn các bạn đã theo dõi hết bài viết hôm nay viết này và các bạn cùng hãy theo dõi các bài viết tiếp theo về chươnghàm số mũ – hàm logaritđể có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết củanasaconstellation.com. Hãy đồng hành cùngnasaconstellation.comđể tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.

Bài viết khác liên quan đến Hàm số mũ và hàm logarit
Facebook Twitter LinkedIn Pinterest Share via Email Print
*
Ôn tập các dạng đồ thị lớp 10 và 11 cực chi tiết
*
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị chương hàm số cực đầy đủ và chi tiết
*
Tổng hợp bài tập ứng dụng tích phân để tìm diện tích có lời giải chi tiết
*
Chinh phục 10 câu cực trị số phức khó có lời giải chi tiết
*
15 Bài tập biểu diễn số phức xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia có lời giải chi tiết
*
10 câu bài tập tích phân hàm ẩn cực hay có lời giải chi tiết
Bài đăng mới nhất
2022 Học Thật Giỏi
Giới thiệu | Điều khoản | Quảng cáo
Back to top button
Close
Tìm kiếm cho:
Close