Bất đẳng thức đáng hãy nhớ là kiến thức đặc trưng trong lịch trình Toán học cho các em học tập sinh. Có khá nhiều bất đẳng thức mà học viên phải ghi nhớ khi còn ngồi trên ghế bên trường. Một trong số đó là bất đẳng thức nesbit. Vậy bất đẳng thức nesbit là gì, công thức quản lý và vận hành như cụ nào thì hãy cùng nasaconstellation.com tìm hiểu qua nội dung bài viết dưới trên đây nhé!


Bất đẳng thức nesbit là gì?

Trong toán học, b là một ngôi trường hợp quan trọng của bất đẳng thức Shapiro khi số phần tử là 3. Nó được phát biểu như sau:

Cho a,b,c là cha số thực dương. Khi ấy ta có:

*

Chứng minh bất đẳng thức nesbit

Chứng minh

Bất đẳng thức này có rất nhiều cách bệnh minh. Tiếp sau đây trình bày 2 cách.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức nesbitt

Cách đồ vật nhất

Bắt đầu trường đoản cú bất đẳng thức Nesbitt (đề xuất năm 1903)

*

Biến đổi vế trái:

*

Thêm một bước đổi mới đổi:

*

Chia cả hai vế mang đến 3 và gửi vế:

*

Vế trái là vừa đủ cộng, vế cần là vừa đủ điều hoà, vì vậy bất đẳng thức đúng, ta có điều cần chứng minh.

(Ta cũng hoàn toàn có thể sử dụng vừa đủ nhân của ba biến để chứng minh).

Cách máy hai

Không mất tổng quát, giả sử a>=b>=c, ta có:

*

Đặt:

*

*

Tích vô hướng của 2 vectơ trên cực đại theo Bất đẳng thức thiến nếu chúng được xếp cùng hướng. Đặt với là các vector nhận được từ chuyển tương xứng 1 và 2 vị trí, ta có:

*

*

Cộng 2 bất đẳng thức bên trên ta được bất đẳng thức Nesbitt.

Cách máy ba

đặt S= a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)

M= b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b)

N= c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b)

có M+N=3

áp dụng bất đẳng thức AM-GM

M+S>=3

N+S>=3

=>M+N+2S>=6

=>2S+3>=6

=>S>=3/2(đpcm)

Bài tập vận dụng bất đẳng thức nesbit

Bài tập 1. đến a, b, c > 0 vừa lòng abc = 1. Minh chứng rằng: 1 a2 (b + c) + 1 b2 (c + a) + 1 c2 (a + b) ≥ 3 2 

Lời giải. Ta có: ∑ 1 a2 (b + c) = ∑ abc a2 (b+ c) = ∑ bc ab + ca ≥ 3 2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1

Bài tập 2. mang đến a, b, c > 0 vừa lòng abc = 1. Chứng minh rằng: a (b + c) 2 + b (c + a) 2 + c (a + b) 2 ≥ 9 4 (a + b + c) 

Lời giải. Ta viết lại bất đẳng thức: (a + b+ c) ( a (b + c)2 + b (c + a)2 + c (a + b)2 ) ≥ 9 4 Theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz có: (a + b + c) ( a (b + c)2 + b (c + a)2 + c (a + b)2 ) ≥ ( a b+ c + b c + a + c a + b )2 ≥ 9 4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Bài tập 3.

Xem thêm: Cách Thay Đổi Ip Máy Tính Của Bạn Từ Command Prompt, 3 Cách Đổi Địa Chỉ Ip Trong Windows 10

cho a, b, c > 0 thỏa mãn nhu cầu abc = 1. Chứng minh rằng: 1 a (b + 1) + 1 b (c + 1) + 1 c (a + 1) ≥ 3 2 

Lời giải. Đặt a = x/y, b = y/z, c = z/x, ta có: ∑ 1 a (b + 1) = ∑ yz xy + zx ≥ 3 2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1.

Bài tập 4. đến a, b > 0 và x, y, z là các số dương tuỳ ý. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của: x2 (ay + bz)(az + by) + y2 (az + bx)(ax+ bz) + z2 (ax+ by)(ay + bx) 

Lời giải. Theo bất đẳng thức AM −GM có: (ay + bz)(az + by) ≤ (ay + bz + az + by) 2 4 = (a + b)2(y + z)2 4 ≤ (a + b) 2(y2 + z2) 2 Suy ra, x2 (ay + bz)(az + by) ≥ 2x 2 (a + b)2(y2 + z2) Tương tự, ta có: y2 (az + bx)(ax+ bz) ≥ 2y 2 (a + b)2(z2 + x2) z2 (ax + by)(ay + bx) ≥ 2z 2 (a + b)2(x2 + y2) bởi vì đó, ∑ x2 (ay + bz)(az + by) ≥ 2 (a + b)2 ( x2 y2 + z2 + y2 z2 + x2 + z2 x2 + y2 ) ≥ 3 (a + b)2