Phương trình lôgarit là phương trình tất cả chứa ẩn số vào biểu thức dưới lốt lôgarit.

Bạn đang xem: Bài tập về logarit

2. Phương trình lôgarit cơ bản

• loga x = b ⇔ x = ab (0 a f(x) = loga g(x) 

*

3. Công việc giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về thuộc cơ số

* bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* bước 2. áp dụng định nghĩa với các tính chất của lôgarit để lấy các lôgarit có mặt trong phương trình về thuộc cơ số.

* bước 3.Biến thay đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ phiên bản đã biết phương pháp giải.

* bước 4. Kiểm tra đk và kết luận.

Ví dụ 1: Tính các giá trị sau: 

*

Lời giải

*

Ví dụ 2:

*

Lời giải

*

Ví dụ 3: Giải phương trình

*

Lời giải

*

Tập nghiệm của phương trình đã cho là 1;2.

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

Phương trình loga=logb (với a>0;a≠1)

Ta đặt loga=logb=t

*

Khử x vào hệ phương trình nhằm thu được phương trình ẩn t, giải pt này kiếm tìm t, từ đó tìm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) log3(x+1)=log2x. 

b) log5x=log7(x+2).

Lời giải

*

Ví dụ 2:

Giải những phương trình sau:

*

Lời giải:

*

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f = 0 (0 ag(x) (*).

• cách 2: Tìm đk của t (nếu có).

• cách 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết phương pháp giải.

•Bước 4: vắt vào (*) nhằm tìm x.

Một số lưu ý quan trọng khi phát triển thành đổi

1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|

3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)

4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|

*
*
*

Ví dụ 3:Giải phương trình

*

Lời giải:

*

Dạng 4: sử dụng tính 1-1 điệu nhằm giải phương trình logarit 

Giả sử phương trình tất cả dạng f(x) = g(x) (*)

• cách 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường lựa chọn nghiệm lân cận 0).

• bước 2: Xét những hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần minh chứng một hàm đồng trở nên và một hàm nghịch phát triển thành hoặc một hàm đối kháng điệu cùng một hàm ko đổi. Khi ấy (C1) với (C2) giao nhau trên một điểm duy nhất tất cả hoành độ x0. Đó chính là nghiệm tuyệt nhất của phương trình (*).

Hoặc gửi phương trình về dạng f(x) = 0

• bước 1: Nhẩm được nhì nghiệm x1; x2 của phương trình (thường chọn nghiệm lân cận 0).

• bước 2: Xét những hàm số y = f(x). Ta cần minh chứng f"(x) = 0 gồm nghiệm duy nhất và f"(x) đổi lốt khi trải qua nghiệm đó. Từ trên đây suy ra phương trình f(x) = 0 có rất nhiều nhất nhì nghiệm.

Hoặc:

• bước 1: chuyển đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

• cách 2: chứng minh hàm f(x)là hàm đối chọi điệu, suy ra u = v

Ví dụ 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Lời giải

*

Phương trình gồm một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f"(x) > 0, bắt buộc f(x) đồng biến trên tập xác minh ;g(x)=2là hàm hằng. đề nghị phương trình sẽ cho gồm một nghiệm tuyệt nhất x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Lời giải

*

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng biến hóa trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch biến chuyển trên tập xác định. Yêu cầu phương trình vẫn cho bao gồm một nghiệm độc nhất vô nhị x = 4.

Ví dụ 3:

Giải phương trình

*

Lời giải

*

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t bao gồm f"(t) > 0 cần hàm số đồng biến hóa trên tập xác định. Lúc đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0

*

Nên phương trình đang cho có tập nghiệm là 1;2

Dạng 5: biện pháp giải phương trình logarit chứa tham số

♦ Dạng toán search m để phương trình bao gồm số nghiệm đến trước:

• bước 1. Bóc tách m ra khỏi biến số x và chuyển về dạng f(x)=A(m).

• bước 2. điều tra khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) bên trên D.

• bước 3. Dựa vào bảng biến thiên nhằm xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

• bước 4. Kết luận những giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc gồm k nghiệm) bên trên D.

♦ lưu lại ý

• Nếu hàm số y=f(x) có giá bán trị lớn số 1 và giá bán trị bé dại nhất bên trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

*

• Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định làm thế nào để cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai với để ý sau.

♦ nhắc lại: Phương trình bậc hai bao gồm hai nghiệm thỏa mãn

*

Hoặc áp dụng định lí hòn đảo về vệt tam thức bậc hai:

*

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm thông số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m = 0 tất cả nghiệm.

Lời giải

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt log3x=t. Lúc ấy phương trình thay đổi t2+t+m=0 (*)

Phương trình đang cho bao gồm nghiệm khi phương trình (*) bao gồm nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Xem thêm: Nổi Cục Hạch Ở Cổ - Nổi Hạch Cổ Là Bệnh Gì

Ví dụ 2: Tìm tham số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.