Nội dung bài học sẽ giúp các em núm được hai khái niệm quan trọng củaGiải tích 12 Chương 1 bài bác 2Cực đạiCực tiểu, với đó là đk cần và điều kiện đủ nhằm hàm số có cực trị. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp đỡ các em hình thành các tài năng giải bài xích tập liên quan đến rất trị của hàm số.

Bạn đang xem: Bài tập toán 12 bài 2


1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

2.2. Điều kiện bắt buộc và đk đủ để hàm số bao gồm cực trị

3. Qui tắc tìm rất trị

4. Bài xích tập minh hoạ

4.1. Dạng 1 kiếm tìm điểm cực trị của hàm số

4.2. Dạng 2 kiếm tìm tham số nhằm hàm số thỏa mãn nhu cầu điều kiện

5. Rèn luyện bài 2 Toán 12

5.1. Trắc nghiệm rất trị của hàm số

5.2. Bài xích tập SGK và nâng cấp về hàm số

6. Hỏi đáp về cực trị của hàm số


Hàm số (f(x))đạt cực lớn tại (x_0)nếu(f(x_0)>f(x) forall xin (x_0-h,x_0+h) setminus left x_0 ight ,h>0)Hàm số (f(x))đạt cực tiểu trên x0nếu(f(x_0)0).
a) Điều kiện nên để hàm số gồm cực trị

(f(x))đạt cực trị tại (x_0), tất cả đạo hàm tại (x_0)thì(f"(x_0)=0).

b) Điều kiện đủ nhằm hàm số gồm điểm cực to và cực tiểuĐiều kiện sản phẩm công nghệ nhất: cho hàm số(y=f(x))liên tục trên khoảng(K = (x_0 - h;x_0 + h),(h > 0))và có đạo hàm bên trên K hoặc trên(Kackslash left x_0 ight\):Nếu
*
thìx0là điểm cực tiểu của hàm số(f(x)).Nếu
*
thìx0là điểm cực đại của hàm số(f(x)).Cách tuyên bố khác dễ dàng nắm bắt hơn: Đi tự trái thanh lịch phảiNếu (f(x))đổi lốt từ - sang + khi qua (x_0)thì(x_0)là điểm rất tiểu.Nếu (f(x))đổi vết từ + sang - lúc qua (x_0)thì(x_0)là điểm rất đại.Điều kiện sản phẩm hai:Cho hàm số (y=f(x))có đạo hàm cấp hai trên khoảng(K = (x_0 - h;x_0 + h),(h > 0)):Nếu(f"(x_0)=0),(f""(x_0)(x_0)là điểm cực lớn của hàm số(f(x)).Nếu(f"(x_0)=0),(f""(x_0)>0)thì(x_0)là điểm cực tiểu của hàm số(f(x)).

3. Qui tắc tìm rất trị


a) quy tắc 1

Tìm tập xác định.Tính (f"(x)). Tìm những điểm trên đó(f"(x)=0)hoặc (f"(x)) không xác định.Lập bảng biến chuyển thiên.Từ bảng thay đổi thiên suy ra những điểm cực đại, cực tiểu.

b) nguyên tắc 2

Tìm tập xác định.Tính (f"(x)). Tìm những nghiệm
*
của phương trình(f"(x)=0).Tính (f""(x)) và (f""(x_i))suy ra đặc điểm cực trị của các điểm
*
.

♦ Chú ý: nếu(f""(x_i)=0)thì ta nên dùng quytắc 1 để xét cực trị tại

*
.


Bài tập minh họa


4.1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số


Tìm những điểm rất đại, cực tiểu của các hàm số sau:

a)(y = frac13x^3 - x^2 - 3x + frac43)

b)(y = left| x ight|left( x + 2 ight))

Lời giải:

a)(y = frac13x^3 - x^2 - 3x + frac43)

Cách 1:

Hàm số bao gồm TXĐ:(D=mathbbR)(y" = x^2 - 2x - 3)(y" = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = - 1\ x = 3 endarray ight.)Bảng biến đổi thiên:

*

Kết luận:Hàm số đạt cực đại tại(x=-1), giá chỉ trị cực lớn tương ứng là(y(-1)=3);Hàm số đạt cực tiểu tại (x=3), quý giá cực tiểu khớp ứng là (y_CD=-frac233).

Cách 2:

Hàm số bao gồm TXĐ:(D=mathbbR)(y" = x^2 - 2x - 3)(y" = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = - 1\ x = 3 endarray ight.)(y ""= 2x - 2)(y""left( - 1 ight) = - 4 ​(y""left( 3 ight) = 4 > 0)suy ra hàm số đạt cực tiểu tại(x=3), giá trị cực tiểu tương ứng là(y_CD=-frac233).

Xem thêm: Cách Giải Phương Trình Lớp 8, Cách Giải Các Dạng Phương Trình Toán Lớp 8

b)(y = left| x ight|left( x + 2 ight))

Hàm số có TXĐ:(D=mathbbR)(y" = fracxleft( x + 2 ight) + left| x ight| = frac2left( x^2 + x ight)left (x e0))Bảng đổi thay thiên:

*

Kết luận:Hàm số đạt cực to tại(x=-1,)giá trị cực lớn tương ứng là(y(-1)=1;)Hàm số đạt rất tiểu tại(x=0,)giá trị cực tiểu(y(0)=0.)

Tìm những điểm rất đại, rất tiểu của hàm số(y=x-sin2x+2.)

Lời giải:Hàm số bao gồm TXĐ:(D=mathbbR)(y" = 1 - 2cos 2x)(y"=0 Leftrightarrow cos2xLeftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi (kinmathbbZ))​(y"" = 4sin 2x)(y""left( fracpi 6 + kpi ight) = 4sin left( fracpi 3 + 2kpi ight) = 2sqrt 3 > 0)suy ra hàm số đạt cực tiểu tại(x = fracpi 6 + kpi), giá trị cực tiểu khớp ứng là(yleft( fracpi 6 + kpi ight) = extstylepi over 6 + kpi - fracsqrt 3 2 + 2).​(y""left( - fracpi 6 + kpi ight) = 4sin left( - fracpi 3 + 2kpi ight) = - 2sqrt 3
Ví dụ 3:

Tìm mđể hàm số (y = left( m + 2 ight)x^3 + 3x^2 + mx - 5) gồm 2 rất trị

Lời giải:Với m=-2 hàm số trở thành(y = 3x^2 - 2x - 5)không thể tất cả hai cực trị. (1)Với(m e-2)ta có:(y" = 3left( m + 2 ight)x^2 + 6x + m)Hàm số tất cả hai cực trị khi còn chỉ khi phương trình(y"=0)có hai nghiệm phân biệt.Điều này xẩy ra khi:(Delta " = - 3left( m^2 + 2m - 3 ight) > 0 Leftrightarrow m^2 + 2m - 3 trường đoản cú (1) (2) suy ra hàm số tất cả hai cực trị khi:(m in left( - 3; - 2 ight) cup left( - 2;1 ight))Ví dụ 4:

Tìm toàn bộ các cực hiếm thực của tham số m nhằm hàm số(: y = -x^3 + (m+3)x^2 - (m^2 + 2m)x - 2)đạt cực đại tại(x=2.)

Lời giải:Hàm số tất cả tập xác định:(D=mathbbR).(y" = -3x^2 + 2(m+3)x-(m^2 + 2m);)Để hàm số bao gồm cực trị tại(x=2)thì:​(y"(2) = 0 Leftrightarrow - 12 + 4(m + 3) - m^2 - 2m = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl m = 0\ m = 2 endarray ight.)Ta có:(y"" = - 6x + 2(m + 3))Với(m=0)thì(y""(2)=-6Với(m=2)thì(y""(2)=-2Thứ lại với(m=0)và(m=2)hàm số đầy đủ đạt cực to tại x=2.