HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

A. Lí thuyết cơ bản

1. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Góc giữa hai vecto trong không gian:

*
.

Bạn đang xem: Bài tập hai đường thẳng vuông góc

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian:

Cho

*
. Khi đó:
*
.

Với

*
hoặc
*
. Quy ước:
*
.

*
.

*
*
.

*
*
.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Một vectơ

*
mà có phương song song hoặc trùng với
*
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
*
.

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng

*
*
là góc giữa hai đường thẳng
*
,
*
lần lượt song song với
*
,
*
. Kí hiệu
*

Từ định nghĩa ta có sơ đồ:

*
.

Nhận xét:

+ Giả sử

*
có vectơ chỉ phương tương ứng là
*
*
.

Khi đó

*

+ Nếu

*
hoặc
*
thì
*
.

3. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng

*
được gọi là vuông góc với nhau nếu
*
. Kí hiệu là
*
.

Nếu

*
*
lần lượt là các vecto chỉ phương của hai đường thẳng
*
*
thì
*

Nếu

*
*
vuông góc với một trong hai đường thẳng đó thì
*
vuông góc với đường thẳng còn lại.

B. Bài tập

Dạng 1. Ứng dụng của tích vô hướng

A. Phương pháp

Muốn tính độ dài của đoạn thẳng

*
hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm
*
*
ta dựa vào công thức:
*
.

Tính góc giữa hai vecto

*
*
ta dựa vào công thức:
*
.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1:Cho tứ diện đều

*
cạnh
*
.

a)Tính góc giữa hai véctơ

*
.

b)Gọi

*
là trung điểm của
*
. Tính góc giữa hai véctơ
*
.

Lời giải:

a)Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ ta được:

*
*
*
.

Xét

*

*
*
.

*
*
.

b)Ta có

*

Tứ diện

*
đều cạnh
*
.
*
là trung tuyến của tam giác đều
*
nên
*

Suy ra

*
.

Ta có

*

Do

*
đều nên
*

Đồng thời

*

Suy ra

*
.

Thay vào

*
ta được
*
suy ra
*
.

Vậy

*
.

Ví dụ 1.2:Cho hình chóp

*
*
,
*
,
*
đôi một vuông góc và
*
. Gọi
*
là trung điểm của
*
.

a)Biểu diễn các véctơ

*
*
theo các véctơ
*
,
*
,
*
.

b)Tính

*
.

Lời giải:

a)Sử dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ hai véctơ ta được:

*
*
.

b)

*

*
,
*
,
*
đôi một vuông góc nên
*

Tam giác

*
*
vuông tại
*
nên theo định lý Pitago ta được
*

suy ra

*
.

Theo câu a ta có:

*
*
*
*
.

Thay vào

*
ta được
*
suy ra
*
.

Dạng 2. Góc giữa hai đường thẳng

A. Phương pháp

Để tính góc giữa hai đường thẳng

*
trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1:Tìm góc giữa hai đường thẳng

*
bằng cách chọn một điểm
*
thích hợp (
*
thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ

*
dựng các đường thẳng
*
lần lượt song song (có thể trùng nếu
*
nằm trên một trong hai đường thẳng) với
*
.

Lưu ý:Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cosin trong tam giác

*
.

Cách 2:Tìm hai vecto chỉ phương

*
của hai đường thẳng
*
.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng

*
xác định bởi
*
.

Lưu ý:Để tính

*
ta chọn ba vecto
*
không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vecto
*
qua các vecto
*
rồi thực hiện các tính toán.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Cho hình chóp

*
có đáy
*
là hình chữ nhật, các tam giác
*
,
*
,
*
là các giác vuông tại
*
. Biết
*
,
*
,
*
. Tính góc giữa các đường thẳng sau:

a)

*
*
.b)
*
*
.c)
*
*
.

Lời giải:

a)Tính góc giữa

*
*

Để xác định góc giữa hai đường thẳng

*
*
ta sử dụng cách 1, tìm đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng
*
,
*
và cắt đường thẳng còn lại.

Ta dễ nhận thấy

*
.

Khi đó

*
.

Xét

*
*
suy ra
*
. Vậy
*
.

b)Tính góc giữa

*
*

Tương tự,

*
*
.

Xét

*
*
suy ra
*
. Vậy
*
.

c)Tính góc giữa

*
*

Gọi

*
là tâm của hình chữ nhật
*
,
*
là trung điểm của
*
.

Trong

*
*
suy ra
*
.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông

*
có:

*
.

Ta có

*
là hình chữ nhật nên
*
suy ra

*
.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông

*
có:

*
.

Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho

*
ta được:

*
.

Suy ra

*
.Vậy
*
.

Ví dụ 2.2:Cho tứ diện

*
, gọi
*
,
*
là trung điểm của
*
,
*
. Biết
*
,
*
. Tính góc giữa hai đường thẳng
*
*
.

Lời giải:

Cách 1:

Do

*
*
là hai cạnh đối của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai đường thẳng
*
*
ta tạo các đường thẳng tương ứng song song với
*
,
*
và chúng cắt nhau.

Gọi

*
là trung điểm của
*
, khi đó
*
,
*

*

Do

*
,
*
là các đường trung bình nên ta có
*
. Áp dụng định lý hàm số cosin trong
*
ta được:
*

Suy ra

*
*
. Vậy
*
.

Nhận xét:Ngoài việc tạo ra điểm

*
như trên ta cũng có thể lấy điểm
*
là trung điểm của
*
, cách giải khí đó cũng tương tự.

Cách 2:

Ta có:

*
.

*
.

*
.

*
.

Ví dụ 2.3:Cho hình chóp

*
có đáy là hình thang vuông tại
*
*
,
*
,
*
,
*
vuông góc với
*
*
,
*
. Tính góc của 2 đường thẳng:

a)

*
*
.b)
*
*
.

Lời giải:

a)Do

*
*

Tam giác

*
vuông tại
*
nên
*
là góc nhọn, khi đó
*
suy ra
*
.

Vậy góc giữa hai đường thẳng

*
*
bằng
*
.

Gọi

*
là trung điểm của
*
, khi đó
*
. Tứ giác
*
là hình hình hành (do
*
), có
*
nên là hình thoi. Lại có góc
*
,
*
vuông nên
*
là hình vuông cạnh
*
suy ra
*
.

Mặt khác, tứ giác

*
là hình hình hành (do cặp cạnh
*
*
song song và bằng nhau) nên
*
. Khi đó,
*
.

Tam giác

*
vuông tại
*
nên
*
.

Tam giác

*
vuông tại
*
nên
*
.

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác

*
ta được
*

Do

*
0" />nên góc
*
là góc nhọn suy ra
*
.

Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

A. Phương pháp

Để chứng

*
ta có thể thực hiện theo các cách sau:

Chứng minh

*
, trong đó
*
lần lượt là các vecto chỉ phương của
*
*
.

Sử dụng tính chất

*
.

Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa

*
và tính trực tiếp góc đó.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1:Cho tứ diện

*
trong đó
*
. Gọi
*
*
lần lượt là trung điểm của
*
*
.

a)Chứng minh rằng

*
vuông góc với cả hai đường thẳng
*
*
.

b)Tính độ dài

*
.

Lời giải:

a)Từ giả thiết dễ dàng suy ra tam giác

*
đều,
*
vuông cân tại
*
.

Từ đó

*
vuông cân tại
*
.

Chứng minh

*
vuông góc với
*

Do các

*
vuông cân tại
*
nên

*
.

Chứng minh

*
vuông góc với
*

Do các

*
đều nên
*
.

b)Áp dụng định lí Pitago cho

*
vuông tại
*
ta được:

*
.

Vậy

*
.

Ví dụ 3.2:Cho hình chóp tam giác

*
*
*
. Chứng minh rằng
*
.

Lời giải:

Chứng minh

*

Xét

*
.

*

*

Chứng minh tương tự ta cũng được

*
.

Ví dụ 3.3:Cho tứ diện đều

*
, cạnh bằng
*
. Gọi
*
là tâm đường tròn ngoại tiếp
*
.

a)Chứng minh

*
vuông góc với
*
.

b)Gọi

*
là trung điểm của
*
. Tính góc giữa:

+

*
*
.

+

*
*
.

Lời giải:

a)Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng.

Xem thêm: Pros And Cons Nghĩa Là Gì ? Cách Sử Dụng Cấu Trúc "Pros And Cons"

Gọi

*
là trung điểm của
*
. Ta có:

*
.

Do

*
là tứ diện đều nên
*