HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
A. Lí thuyết cơ bản
1. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian
Góc giữa hai vecto trong không gian:
.
Bạn đang xem:
Bài tập hai đường thẳng vuông gócTích vô hướng của hai vecto trong không gian:
Cho
. Khi đó:
.
Với
hoặc
. Quy ước:
.
.
.
.
2. Góc giữa hai đường thẳng
Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Một vectơ
mà có phương song song hoặc trùng với
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng
và
là góc giữa hai đường thẳng
,
lần lượt song song với
,
. Kí hiệu
Từ định nghĩa ta có sơ đồ:
.
Nhận xét:
+ Giả sử
có vectơ chỉ phương tương ứng là
và
.
Khi đó
+ Nếu
hoặc
thì
.
3. Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng
được gọi là vuông góc với nhau nếu
. Kí hiệu là
.
Nếu
và
lần lượt là các vecto chỉ phương của hai đường thẳng
và
thì
Nếu
và
vuông góc với một trong hai đường thẳng đó thì
vuông góc với đường thẳng còn lại.
B. Bài tập
Dạng 1. Ứng dụng của tích vô hướng
A. Phương pháp
Muốn tính độ dài của đoạn thẳng
hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm
và
ta dựa vào công thức:
.
Tính góc giữa hai vecto
và
ta dựa vào công thức:
.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1:Cho tứ diện đều
cạnh
.
a)Tính góc giữa hai véctơ
.
b)Gọi
là trung điểm của
. Tính góc giữa hai véctơ
.
Lời giải:
a)Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ ta được:
.
Xét
Mà
.
.
b)Ta có
Tứ diện
đều cạnh
.
là trung tuyến của tam giác đều
nên
Suy ra
.
Ta có
Do
đều nên
Đồng thời
Suy ra
.
Thay vào
ta được
suy ra
.
Vậy
.
Ví dụ 1.2:Cho hình chóp
có
,
,
đôi một vuông góc và
. Gọi
là trung điểm của
.
a)Biểu diễn các véctơ
và
theo các véctơ
,
,
.
b)Tính
.
Lời giải:
a)Sử dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ hai véctơ ta được:
.
b)
Mà
,
,
đôi một vuông góc nên
Tam giác
và
vuông tại
nên theo định lý Pitago ta được
suy ra
.
Theo câu a ta có:
.
Thay vào
ta được
suy ra
.
Dạng 2. Góc giữa hai đường thẳng
A. Phương pháp
Để tính góc giữa hai đường thẳng
trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách sau:
Cách 1:Tìm góc giữa hai đường thẳng
bằng cách chọn một điểm
thích hợp (
thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
Từ
dựng các đường thẳng
lần lượt song song (có thể trùng nếu
nằm trên một trong hai đường thẳng) với
.
Lưu ý:Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cosin trong tam giác
.
Cách 2:Tìm hai vecto chỉ phương
của hai đường thẳng
.
Khi đó góc giữa hai đường thẳng
xác định bởi
.
Lưu ý:Để tính
ta chọn ba vecto
không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vecto
qua các vecto
rồi thực hiện các tính toán.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 2.1:Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật, các tam giác
,
,
là các giác vuông tại
. Biết
,
,
. Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a)
và
.
b)và
.
c)và
.
Lời giải:
a)Tính góc giữa
và
Để xác định góc giữa hai đường thẳng
và
ta sử dụng cách 1, tìm đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng
,
và cắt đường thẳng còn lại.
Ta dễ nhận thấy
.
Khi đó
.
Xét
có
suy ra
. Vậy
.
b)Tính góc giữa
và
Tương tự,
.
Xét
có
suy ra
. Vậy
.
c)Tính góc giữa
và
Gọi
là tâm của hình chữ nhật
,
là trung điểm của
.
Trong
có
suy ra
.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông
có:
.
Ta có
là hình chữ nhật nên
suy ra
.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông
có:
.
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho
ta được:
.
Suy ra
.Vậy
.
Ví dụ 2.2:Cho tứ diện
, gọi
,
là trung điểm của
,
. Biết
,
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
.
Lời giải:
Cách 1:
Do
và
là hai cạnh đối của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai đường thẳng
và
ta tạo các đường thẳng tương ứng song song với
,
và chúng cắt nhau.
Gọi
là trung điểm của
, khi đó
,
Do
,
là các đường trung bình nên ta có
. Áp dụng định lý hàm số cosin trong
ta được:
Suy ra
. Vậy
.
Nhận xét:Ngoài việc tạo ra điểm
như trên ta cũng có thể lấy điểm
là trung điểm của
, cách giải khí đó cũng tương tự.
Cách 2:
Ta có:
....Ví dụ 2.3:Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại
và
,
,
,
vuông góc với
và
,
. Tính góc của 2 đường thẳng:
a)
và
.
b)và
.
Lời giải:
a)Do
Tam giác
vuông tại
nên
là góc nhọn, khi đó
suy ra
.
Vậy góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
.
Gọi
là trung điểm của
, khi đó
. Tứ giác
là hình hình hành (do
), có
nên là hình thoi. Lại có góc
,
vuông nên
là hình vuông cạnh
suy ra
.
Mặt khác, tứ giác
là hình hình hành (do cặp cạnh
và
song song và bằng nhau) nên
. Khi đó,
.
Tam giác
vuông tại
nên
.
Tam giác
vuông tại
nên
.
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác
ta được
Do
0" />nên góc
là góc nhọn suy ra
.
Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp
Để chứng
ta có thể thực hiện theo các cách sau:
Chứng minh
, trong đó
lần lượt là các vecto chỉ phương của
và
.
Sử dụng tính chất
.
Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa
và tính trực tiếp góc đó.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 3.1:Cho tứ diện
trong đó
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
.
a)Chứng minh rằng
vuông góc với cả hai đường thẳng
và
.
b)Tính độ dài
.
Lời giải:
a)Từ giả thiết dễ dàng suy ra tam giác
đều,
vuông cân tại
.
Từ đó
vuông cân tại
.
Chứng minh
vuông góc vớiDo các
vuông cân tại
nên
.
Chứng minh
vuông góc vớiDo các
đều nên
.
b)Áp dụng định lí Pitago cho
vuông tại
ta được:
.
Vậy
.
Ví dụ 3.2:Cho hình chóp tam giác
có
và
. Chứng minh rằng
.
Lời giải:
Chứng minh
Xét
.
Mà
Chứng minh tương tự ta cũng được
.
Ví dụ 3.3:Cho tứ diện đều
, cạnh bằng
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
a)Chứng minh
vuông góc với
.
b)Gọi
là trung điểm của
. Tính góc giữa:
+
và
.
+
và
.
Lời giải:
a)Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng.
Xem thêm: Pros And Cons Nghĩa Là Gì ? Cách Sử Dụng Cấu Trúc "Pros And Cons"
Gọi
là trung điểm của
. Ta có:
.
Do
là tứ diện đều nên
và