Bất đẳng thức Cô-si: triết lý cần ghi nhớ và những dạng bài bác tập thường gặp

Bất đẳng thức Cô-si tuyệt bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và mức độ vừa phải nhân của n số thực không âm. Bài viết hôm nay, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ trình làng về một số trong những kiến thức bắt buộc nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một trong những dạng bài xích tập hay gặp. Bạn khám phá nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI


1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Cô-si: triết lý cần ghi lưu giữ và các dạng bài bác tập hay gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Tất cả nhiều cách để chứng minh bđt này nhưng hay tuyệt nhất là cách chứng tỏ quy nạp của Cauchy.

Bạn đang xem: Bài tập bất đẳng thức


Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực ko âm được tuyên bố như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bởi trung bình nhân của chúng, với trung bình cùng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ còn khi n số đó bởi nhau.

*
*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

– Bất đẳng thức Cô mê mẩn với n số thực ko âm:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 

*

2. Những dạng tuyên bố của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng thể của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
x_1 - x_2 và ne 0 <3pt> left( x_1 - x_2 right) ^2 và > 0 <3pt> x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 và > 0 <3pt> x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 <3pt> left( x_1 + x_2 right) ^2& > 4 x_1 x_2 <3pt> Bigl( fracx_1 + x_22 Bigr)^2 & > x_1 x_2 <3pt> fracx_1 + x_22 & > sqrtx_1 x_2 endalign " />

điều bắt buộc chứng minh.

d. Trường đúng theo n = 2k

Xem xét các trường hợp n= 2 k, với k là một số trong những nguyên dương. Công ty chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường thích hợp cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.

Khi, có một giá bán trị k> 1 bất kỳ, trả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, cùng cần minh chứng rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm cho như vậy, các bước được thực hiện như sau:

*
*
*
*
sqrt<2^k>x_1 x_2 cdots x_2^k" />

(điều bắt buộc chứng minh).

e. Trường vừa lòng n k

Nếu n không phải là một hàm mũ tự nhiên và thoải mái cơ số 2, thì nó chắc chắn là nhỏ hơn một số trong những nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, bởi vì chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị chặn trên. Vì chưng đó, cơ mà không mất tính tổng quát, với m giá trị theo đúng hàm mũ thoải mái và tự nhiên cơ số 2 phệ hơn n.

Xem thêm: Lụy Tình Có Nghĩa Là Gì ? Dấu Hiệu Và Giải Pháp Khi Lụy Tình

Vì vậy, trường hợp ta có n số, thì ta rất có thể biểu diễn giá trị trung bình cùng α, với được mở rộng như sau:

*
*
và = fracfracmn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> & = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + fracm-nn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + left( m-n right) alpham <6pt> & = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + x_n+1 + cdots + x_mm <6pt> và > sqrtx_1 x_2 cdots x_n x_n+1 cdots x_m <6pt> & = sqrtx_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n,, endalign " />

như vậy

x_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n <5pt> alpha^n & > x_1 x_2 cdots x_n <5pt> alpha và > sqrtx_1 x_2 cdots x_n endalign " />

điều buộc phải chứng minh.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

a. Bài bác tập bao gồm lời giải:

Bài 1: Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang lại hai số x > 0 cùng ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện 

*
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang đến hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si mang lại hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi 

*

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với bố số a, b, c ko âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán đã đạt được dấu bằng khi và đưa ra khi a = b = c = 1. Ta đã sử dụng phương thức làm trội làm bớt như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô đắm đuối cho tía số a, b, c không âm có:

*

Tương từ bỏ ta có 

*
 và 
*

Cộng vế cùng với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá chỉ trị nhỏ dại nhất của các biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: biến chuyển đổi 

*
 rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là những số thực ko âm, bệnh minh:

*

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô yêu thích cho ba số a, b, c ko âm)

Bài 4: Cho tía số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng tỏ rằng:

*

(gợi ý sử dụng phương thức làm trội)